Question

"A distribuição Poisson é frequentemente usada para modelar o número de ocorrências de um evento por um certo período de tempo ou por um certo volume ou por uma certa área. Considerando a distribuição de Poisson, você como engenheiro ambiental de uma reserva, realizou um estudo de desmatamento de onde verificou-se que após 365 dias, em 1.000.000 de arvores catalogadas, 977.287 mantinham-se ainda intactas. Qual a probabilidade de em qualquer dia, 50 arvores serem cortadas nesta reserva ambiental?".

Answer 1

Bom dia!

A distribuição de Poisson é normalmente utilizada em contagens de número de ocorrências. Seja um evento que ocorre que acontece com uma média diária λ, a probabilidade de termos k ocorrências desse evento em um único dia, de acordo com a distribuição de Poisson, é:

$P(k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$

Essa expressão é a expressão que descreve a distribuição de Poisson. Você tem que tomar cuidado na hora de calcular a média λ. Como queremos calcular a probabilidade de termos um dado número de árvores cortadas em uma base diária, temos que calcular o número médio de árvores desmatadas por dia.

Vamos calcular essa média. Temos que o número inicial de árvores era de 1.000.000. Após 365 dias (1 ano), o número de árvores intactas era de 977.287. Sendo assim, o número de árvores desmatadas nesse período foi de:

$1.000.000-977.287=22713$

Logo, o número médio de árvores desmatadas diariamente é:

$\lambda=\frac{22713}{365}$
$\lambda=62,23\,\'arvores/dia$

Agora, podemos aplicar a expressão para a distribuição de Poisson para calcular a probabilidade de termos 50 árvores desmatadas em 1 dia fazendo k=50. Temos:

$P(k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$
$P(50)=e^{-62,23}\frac{62,23^{50}}{50!}$

Resolvendo numericamente a expressão acima obtemos:

$P(50)=0,0155$
$P(50)=0,0155\cdot{100}\%$
$P(50)=1,55\%$

Portanto, a probabilidade de que 50 árvores sejam desmatadas em um único dia é de 1,55% de acordo com a distribuição de Poisson.