Question

considere a funçao dada f(x,y)=x²-y.Determine a equação do plano tangente a superfície do plano (2,1,3)

Answer 1

Lembre que a equação do plano é
$(x-x_0)\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)+(y-y_0)\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)-(z-z_0)=0$
onde $f:A\subset\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ e um ponto (x_0,y_0)  no domínio A, sendo z_0=f(x_0,y_0).
$\frac{\partial f}{\partial x}=2x$
$\frac{\partial f}{\partial y}=-1$
Calculando as derivadas parciais no ponto (2,1)
$\frac{\partial f}{\partial x}(2,1)=4$
$\frac{\partial f}{\partial y}(2,1)=-1$

f(2,1)= 3.

Aplicando esses dados na equação do plano, temos
$(x-2)\frac{\partial f}{\partial x}(2,1)+(y-1)\frac{\partial f}{\partial y}(2,1)-(z-3)=0$

$4(x-2)-(y-1)-(z-3)=0$

$4x-8-y+1-z+3=0$

$4x-y-z-4=0$

Bons estudos

Answer 2

✅ Após resolver todos os cálculos, concluímos que a equação geral do plano tangente à referida superfície pelo respetivo ponto é:

    $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \pi: 4x - y - z - 4 = 0\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

            $\Large\begin{cases}s: f(x, y) = x^{2} - y\\T(2, 1, 3)\end{cases}$

Organizando a equação da superfície, temos:

             $\Large\begin{cases} s: x^{2} - y - z = 0\\T(2, 1, 3)\end{cases}$

Para calcular a equação do plano tangente a uma determinada superfície por um determinado ponto de tangência, temos que ter um ponto "T" pertencente ao plano bem como o vetor normal "n" ao plano aplicado ao referido ponto "P", ou seja, precisamos dos seguintes itens:

                $\Large\begin{cases} T(X_{T},Y_{T},Z_{T})\\\vec{n_{\pi}} = (X_{n}, Y_{n},Z_{n})\end{cases}$

Além disso, devemos montar a equação do plano tangente utilizando a seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(I) \end{gathered}$      $\large\displaystyle\begin{gathered} X_{n}\cdot X + Y_{n}\cdot Y + Z_{n}\cdot Z = X_{n}\cdot X_{T} + Y_{n}\cdot Y_{T} + Z_{n}\cdot Z_{T}\end{gathered}$

OBSERVAÇÃO: A partir de agora, todas as vezes que me referir à função "f" estarei me referindo à função que originou a superfície.

Para montar a equação do plano tangente, devemos:

• Verificar se o ponto "T" pertence à superfície "s". Caso positivo, existe sim plano tangente à referida superfície. Caso contrário, não existe plano tangente. Para isso, devemos substituir as coordenadas do ponto "T" na equação da superfície. Então, temos:

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2^{2} - 1 - 3 = 0\end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} 4 - 1- 3 = 0\end{gathered}$

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(II)\end{gathered}$                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} 0 = 0\end{gathered}$

        Como, ambos os membros da equação "II" são iguais, então o ponto "T" pertence à referida superfície. Então, podemos continuar com os cálculos.

• Calcular a derivada parcial da função em termos de "x".

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} \frac{\partial f}{\partial x} = 2\cdot x^{2 - 1} = 2x\end{gathered}$

• Calcular a derivada parcial da função em termos de "y".

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \frac{\partial f}{\partial y} = -1\cdot y^{1 - 1} = -1\cdot y^{0} = -1\cdot1 = -1\end{gathered}$

• Calcular a derivada parcial da função em termos de "z".

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \frac{\partial f}{\partial z} = -1\cdot z^{1 - 1} = -1\cdot z^{0} = -1\cdot 1 = -1\end{gathered}$

• Montar o vetor gradiente.

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \nabla f(x, y, z) = \Bigg(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y},\,\frac{\partial f}{\partial z}\Bigg)\end{gathered}$

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (2x,-1, -1)\end{gathered}$

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:\nabla f(x, y, z) = (2x, -1, -1)\end{gathered}$

• Montar o vetor normal.

        Sabemos que o vetor normal é igual ao vetor gradiente aplicado ao ponto "T", ou seja:

               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \vec{n_{\pi}} = \nabla f(T)\end{gathered} }$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \Bigg(\frac{\partial f}{\partial x}\cdot X_{T},\,\frac{\partial f}{\partial y}\cdot Y_{T},\,\frac{\partial f}{\partial z}\cdot Z_{T}\Bigg)\end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (2\cdot2, -1, -1)\end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (4, -1, -1)\end{gathered}$

                $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \therefore\:\:\:\vec{n_{\pi}} = (4, -1, -1)\end{gathered} }$

• Montar a equação geral do plano tangente à superfície.

        Substituindo tanto as coordenadas do ponto "T" quanto as coordenadas do vetor "n" na equação "I" temos:

           $\large\displaystyle\begin{gathered} 4\cdot x + (-1)\cdot y + (-1)\cdot z = 4\cdot2 + (-1)\cdot1 + (-1)\cdot3\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} 4x - y - z = 8 - 1 - 3\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} 4x - y - z = 4\end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} 4x - y - z - 4 = 0\end{gathered}$

✅ Portanto, a equação do plano tangente à superfície é:

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} \pi: 4x - y - z - 4 = 0\end{gathered}$

Saiba mais:

1. https://brainly.com.br/tarefa/19710775
2. https://brainly.com.br/tarefa/33578751
3. https://brainly.com.br/tarefa/48376861
4. https://brainly.com.br/tarefa/27012400
5. https://brainly.com.br/tarefa/51554944
6. https://brainly.com.br/tarefa/42468323
7. https://brainly.com.br/tarefa/3345543
8. https://brainly.com.br/tarefa/12737760
9. https://brainly.com.br/tarefa/12538883
10. https://brainly.com.br/tarefa/3825006

Solução gráfica (figura):