Question

Um crocodilo está caçando uma zebra localizada a 20 metros de distância na margem oposta do rio. Crocodilos viajam a velocidades diferentes em terra e na água.

O tempo necessário para o crocodilo atingir a zebra pode ser minimizado se ele nadar até um determinado ponto, P, a x metros do outro lado do rio, como mostrado no diagrama:
O tempo necessário, T, medido em décimos de segundo, é dado por:

$t(x) = 5 \sqrt{36 + {x}^{2} } + 4(20 - x)$
responda :
1)

a) Calcule o tempo necessário se o crocodilo não andar por terra.
b) Calcule o tempo necessário se o crocodilo nadar a menor distância possível.

2)
Entre estes dois extremos existe um valor x que minimiza o tempo necessário. Encontre este valor de x e, assim, calcule o tempo mínimo possível.

Answer 1

Olá!

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Solução:

1) a) Se o crocodilo não anda por terra, temos que ele segue a linha reta que o liga à zebra. Isso acontece quando x = 20 m. Vamos na fórmula:

$t(20) = 5\sqrt{36+20^2}+4(20-20)\\ \\ t(20) = 5\sqrt{36+400} + 4\cdot 0\\ \\ t(20) = 5\sqrt{436}\approx 5\cdot 20,9\\ \\ t(20)\approx 104,5 \ ds\\ \\ \boxed{t(20) \approx 10,45 \ s}$

b) Para nadar a menor distância possível, ele simplesmente atravessa o rio perpendicularmente à margem e depois alcança a zebra. Isso ocorre com x = 0. 

$t(0) = 5\sqrt{36+0^2}+4(20-0)\\ \\ t(0) = 5\cdot6 + 80\\ \\ t (0) = 110 \ ds\\ \\ \boxed{t(0) = 11 \ s}$

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Foi a parte 1, mais imediata. Vamos para a segunda questão.
Seria interessante se tivéssemos a velocidade de nado e de corrida do crocodilo. Assim, nossa única ferramenta para esse problema torna-se o cálculo diferencial. Por quê? Precisamos de um valor mínimo, e a função do tempo em função da distância não é simples de encontrar um vértice como as funções de grau 2.

As derivadas são funções que apresentam o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função em cada ponto analisado. Assim, se tivermos uma reta com inclinação nula, teremos um ponto que pode ser de mínimo ou máximo(pode ocorrer inflexão, mas não é nosso caso)

Regras de diferenciação usadas:

$f(x) = x^n\Rightarrow f'(x) = n\cdot x^{n-1}\\ \\ \\ f(x) = \sqrt{u}\Rightarrow f'(x) = \dfrac{u'}{2\sqrt u}, \ \ \texttt{Com \ u = u(x)}$

* A derivada de uma soma de funções é a soma das derivadas.
* A derivada de k.f(x), com k constante é k.f'(x).
* A derivada de uma constante é zero.


Vamos derivar t(x):

$t'(x) = 5\cdot\dfrac{(36+x^2)'}{2\sqrt{36+x^2}} + 4(20 - x)'\\ \\ \\ t'(x) = 5\cdot\dfrac{0+2x}{2\cdot\sqrt{36+x^2}} + 4\cdot(0-1)\\ \\ \\ t'(x) = \dfrac{5x}{\sqrt{36+x^2}} - 4$

Com derivada nula, teremos um ponto crítico. Esse pode ser máximo, mínimo ou de inflexão.

$\dfrac{5x}{\sqrt{36+x^2}}-4 = 0\\ \\ \\ (5x)^2 = (4\sqrt{36+x^2})^2\\ \\ 25x^2 = 16(36 + x^2)\\ \\ 25x^2 = 576 + 16x^2\\ \\ 25x^2 - 16x^2 = 576\\ \\ 9x^2 = 576\\ \\ x^2 = 64\\ \\ \boxed{x = 8 \ m}$

O tempo mínimo será nossa f(x).

$f(8) = 5\sqrt{36+8^2} + 4(20 - 8)\\ \\ f(8) = 5\sqrt{100} + 4\cdot 12\\ \\ f(8) = 50 + 48\\ \\ f(8) = 98 \ ds\\ \\ \\ \boxed{f(8) = 9,8 \ s}$

Está aqui sua solução :)