Question

Teoria de Conjuntos.

Usando os conceitos de inclusão e interseção, mostre que dados dois conjuntos A e B,

se A ∩ B = B, então B ⊂ A.

Answer 1

Definição: Dados dois conjuntos $\mathsf{X}$ e $\mathsf{Y}$, dizemos que $\mathsf{X\subset Y}$ se $\mathsf{x\in X\,\Longrightarrow\,x\in Y}$
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Sejam $\mathsf{A,\,B}$ dois conjuntos. Então, por definição,

$\mathsf{A\,\cap\,B=\{x:x\in A\,\,\,e\,\,\,x\in B\}}$

Tome $\mathsf{y\in B\stackrel{\mathsf{hip\'otese}}{=}A\,\cap\,B}$ qualquer

Como $\mathsf{y\in A\,\cap\,B}$, por definição de interseção, $\mathsf{y\in A}$

Concluímos que $\mathsf{y\in B\,\Longrightarrow\, y\in A}$. Então, por definição, $\mathsf{B\subset A}$.