Question

EDO
Obtenha a solução da equação deferencial y' = (2x-1)^5 e, então, obtenha uma solução particular para a condição inicial y (1) = 2

Preciso do passo a passo

Answer 1

Olá


Equação Diferencial Ordinária por Separação de Variáveis.


$\displaystyle\mathsf{y'=(2x-1)^5}$



Substitua y' por dy/dx



$\displaystyle \mathsf{ \frac{dy}{dx}~=~ (2x-1)^5}$



Passe o 'dx' para o outro lado



$\displaystyle \mathsf{ dy~=~ (2x-1)^5dx}$



Integre dos dois lados


$\displaystyle \mathsf{ \int dy~=~ \int (2x-1)^5dx}$



Resolvendo a 2ª integral separadamente.

pelo método da substituição 'udu'

$\displaystyle\mathsf{\int (2x-1)^5dx}\\\\\\\mathsf{u=2x-1}\\\mathsf{du=2dx}\\\\\mathsf{dx= \frac{1}{2}du }\\\\\\\mathsf{\int u^5 \frac{1}{2}du }\\\\\\\mathsf{ \frac{1}{2} \int u^5du~=~ \frac{1}{2}\cdot \frac{u^{5+1}}{5+1}+C }\\\\\\\mathsf{= \frac{1}{2}\cdot \frac{u^6}{6}+C }\\\\\\\mathsf{= \frac{(2x-1)^6}{12}+C }$



Voltando na EDO


$\displaystyle \mathsf{ \int dy~=~ \int (2x-1)^5dx}\\\\\\\\\mathsf{y~=~ \frac{(2x-1)^6}{12}+C }$



Substituindo o valor inicial para encontrar o valor do 'C'

y(1) = 2

y = 2
x = 1


$\displaystyle\mathsf{2~=~ \frac{(2(1)-1)^6}{12}+C }\\\\\\\mathsf{2~=~ \frac{1}{12}+C }\\\\\\\mathsf{C~=~ \frac{23}{12} }$



Portanto a solução da EDO é


$\displaystyle\boxed{\mathsf{y~=~ \frac{(2x-1)^6}{12}+ \frac{23}{12} }}$