Question

calcule M para a equação em x2 +(
${2}^{m } - 2$
)+9=0. tenha raízes iguais . A) m é par B) M é múltiplo de 6 C) M é um número primo D)m é múltiplo de 7 E)m é múltiplo de 10

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Miria, que a resolução é simples.
Antes de iniciar, veja estes rápidos prolegômenos:

a) Uma equação do segundo grau, da forma ax²+bx+c = 0 terá duas raízes reais e DIFERENTES se e somente se o seu delta (b²-4ac) for maior do que zero.
b) Uma equação do segundo grua, da forma ax²+bx+c = 0 terá duas raízes reais e ambas IGUAIS se e somente se o seu delta (b²-4ac) for igual a zero.
c) Uma equação do segundo grau, da forma ax²+bx+c = 0 NÃO terá raízes reais se e somente se o seu delta (b²-4ac) for menor do que zero.

i) Note que a sua sua questão se enquadra na hipótese "b" acima, ou seja, é pedido para determinar o valor de "m" para que a equação abaixo tenha duas raízes reais e ambas IGUAIS:

x² + (2 ͫ⁻ - 2)x + 9 = 0

Então vamos impor que o delta (b²-4ac) da equação acima seja IGUAL a zero. Note que o delta da equação acima é este: (2 ͫ⁻ - 2)² - 4*1*9. Então vamos impor que ele seja igual  a zero. Assim:

 (2 ͫ⁻ - 2)² - 4*1*9 = 0 ---- desenvolvendo o quadrado, teremos:
2² ͫ⁻ - 2*2 ͫ⁻*2 + 4  - 36 = 0 ----- como, na multiplicação, a ordem dos fatores não altera o produto, então poderemos fazer assim:

2² ͫ⁻ - 2*2*2 ͫ⁻ + 4  - 36 = 0 ---- continuando o desenvolvimento, temos:
2² ͫ⁻ - 4*2 ͫ⁻ + 4 - 36 = 0 ---- como "4-36 = -32", teremos:
2² ͫ⁻ - 4*2 ͫ⁻ - 32 = 0 ---- agora note que poderemos fazer 2 ͫ⁻ = y. Com isso, ficaremos assim:

y² - 4y - 32 = 0 ---- veja: se você aplicar Bháskara, vai encontrar as seguintes raízes:

y' = -4
y'' = 8

Mas lembre-se que fizemos 2 ͫ⁻ = y. Então:

i.1) Para y = - 4, iremos ter:

2 ͫ⁻ = - 4 <--- Impossível. Não há nenhuma base positiva que, elevada a qualquer que seja o expoente, dê resultado negativo. Então simplesmente deveremos descartar a raiz y = - 4.

i.2) Para y = 8, teremos:

2 ͫ⁻ = 8 ---- note que 8 = 2³. Assim, teremos:
2 ͫ⁻ = 2³ ------ como as bases são iguais, então igualamos os expoentes. Logo:

m = 3 <---- Este deverá ser o valor de "m" para que a equação da sua questão tenha duas raízes reais e ambas iguais.

Assim, vendo as opções fornecidas,verificamos que a opção que diz exatamente o que acabamos de encontrar é a opção "C", que diz isto:

C) "m" é um número primo <--- Esta será a opção correta. Opção "C". Note, a propósito, que "3" é um número primo.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.