Question

Considere a função: , dada por f(x)=16x−x3. Determine as raízes de f. Determine os intervalos de crescimento e aqueles de decrescimento de f. Determine os pontos de máximo/mínimo locais de f e os valores de f nesses pontos. Analise a concavidade do gráfico de f. Esboce o gráfico de f.

Answer 1

Vamos lá. Para resolver essa questão, vamos fatorar a equação original  colocando o termo X em evidência. Assim, vamos diminuir a equação para uma equação de segundo grau:

16X - X³  = 0

X (16 - X²)  = 0 

Na equação do segundo grau gerada (16 - X² = 0), os coeficientes são:

a = -1  b = 0   c = 16

Para os cálculos do item C, usaremos o Δ:

Δ = b² - 4*a*c
Δ = 0 - 4 * (-1) * 16
Δ = 64

A) Temos agora uma multiplicação de dois fatores resultando em zero. Para que o resultado seja zero, um dois dois fatores obrigatoriamente tem que ser zero.

Para encontrar as raízes, igualaremos os dois fatores (X) e (16 - X²) a zero:

Primeiro fator:  X = 0 

 S = {0}

Segundo fator: 16 - X² = 0
                           16 = X²
                           X = -4 ou X = 4    
S {-4;4}

Assim, as raízes da equação são {-4; 0; 4}

B) Para descobrir os intervalos de crescimento e decrescimento da função, teremos que utilizar as raízes encontradas. Escolhemos 3 valores de X aleatórios dentro do intervalo para verificar o comportamento da função. Consideraremos o estudo da função f(X) = 16 - X² .

Primeiro intervalo: todo -4 < X < 0

* quando X = -3; f(X) = 7
* quando X = -2; f(X) = 12
* quando X = -1; f(X) = 15

Nesse intervalo, percebemos que quando maior o valor de X, maior também o valor de f(X). Dessa maneira, a função no intervalo -4 < X < 0 é crescente.

Segundo intervalo: 0 < X < 4

* quando X = 1; f(X) = 15
* quando X = 2; f(X) = 12
* quando X = 3; f(X) = 7

Nesse intervalo, percebemos que quando maior o valor de X, menor o valor de f(X). Dessa maneira, sabemos que no intervalo 0 < X < 4 a função é decrescente.

C) Para determinar os pontos de máximo ou mínimo de uma equação do segundo grau, basta calcular os dados do vértice (Xv) e (Yv), através de fórmulas matemáticas já existentes:

Xv = -b / 2*a
Xv = -0 / 2*-1
Xv = 0

Yv = - Δ / 4*a
Yv = -64 / 4 * (-1)
Yv = 16

Assim, o valor do ponto mínimo é P (0 ; 16).

D) Nossa função do segundo grau é 16 - X². O valor do coeficiente "a" é negativo. Portanto a concavidade da parábola é voltada para baixo. 

E) O gráfico está esboçado no arquivo em anexo.

Espero ter ajudado ;)