Question

Um dispositivo que é utilizado no dia a dia para aquecer a água e tomarmos banho é o chuveiro elétrico. Isso é possível porque a água flui através dos orifícios que se encontram na cabeça do mesmos. Os chuveiros modernos apresentam vários orifícios. Considere um chuveiro que possui 80 aberturas circulares, cada uma com raio de 0,4mm.a cabeça de chuveiro é conectada a um cano de raio igual a 0,65. se a velocidade da água no cano é 3,0m/s, determine. A área total das aberturas do chuveiro e a área do cano em m2. a velocidade da água ao sair pela aberturas da cabeça.

Answer 1

Ola!

Para calcular a velocidade da água ao sair pelas aberturas do chuveiro, precisamos primeiro calcular a vazão de água que passa pelo cano que chega chuveiro. Depois, utilizamos a conservação da vazão para determinar a velocidade da água na saída do chuveiro.

São dados:

$r_{cano}=0,65\,cm=6,5\cdot{10}^{-3}\,m$
$r_{furo}=0,4\,mm=4\cdot{10}^{-4}\,m$
$v_{cano}=3\,m/s$

Área do cano em m²

Como o cano é circular, é fácil calcular a área transversal do cano:

$A_{cano}=\pi\cdot{r}_{cano}^2$
$A_{cano}=\pi\cdot(6,5\cdot{10}^{-3})^2$
$A_{cano}=3,14\cdot{42,25}\cdot{10}^{-6}$
$A_{cano}=132,7\cdot{10}^{-6}$
$A_{cano}=1,327\cdot{10}^{-4}\,m^2$

Área total das aberturas do chuveiro em m²

Para calcular a área total das aberturas do chuveiro, começamos calculando a área de uma única abertura. Em seguida, multiplicamos esse valor pelo número de aberturas. Para uma única abertura, temos:

$A_{furo}=\pi\cdot{r}_{furo}^2$
$A_{furo}=3,14\cdot(4\cdot{10}^{-4})^2$
$A_{furo}=3,14\cdot{16}\cdot{10}^{-8}$
$A_{furo}=50,3\cdot{10}^{-8}$
$A_{furo}=5,03\cdot{10}^{-7}\,m^2$

Como o chuveiro tem 80 aberturas, a área total será:

$A_{tot}=80\cdot{A}_{furo}$
$A_{tot}=80\cdot{5,03\cdot{10}^{-7}}$
$A_{tot}={402,4\cdot{10}^{-7}}$
$A_{tot}={4,024\cdot{10}^{-5}}\,m^2$

Velocidade da água na saída do chuveiro em m/s

Para calcular a velocidade da água na saída do chuveiro, vamos considerar a conservação da vazão de água. Sabemos que a quantidade de água que entra pelo cano deve ser igual à quantidade de água que sai pelas aberturas do chuveiro. Denotando a vazão por Q, podemos escrever:

$Q_{furos}=Q_{cano}$

Ainda, sabemos que a vazão é dada pelo produto da área pela velocidade. Com isso, temos:

$Q_{furos}=Q_{cano}$
$A_{tot}\cdot{v_{aberturas}}=A_{cano}\cdot{v_{cano}}$

Utilizando os valores que encontramos anteriormente obtemos:

$A_{tot}\cdot{v_{aberturas}}=A_{cano}\cdot{v_{cano}}$
$4,024\cdot{10}^{-5}\cdot{v_{aberturas}}=1,327\cdot{10}^{-4}\cdot{3}$
$4,024\cdot{10}^{-5}\cdot{v_{aberturas}}=3,981\cdot{10}^{-4}$
${v_{aberturas}}=\frac{3,981\cdot{10}^{-4}}{4,024\cdot{10}^{-5}}$
${v_{aberturas}}=1\cdot\frac{{10}^{-4}}{{10}^{-5}}$
${v_{aberturas}}=1\cdot{10}^{-4-(-5)}$
${v_{aberturas}}=1\cdot{10}$
${v_{aberturas}}=10\,m/s$

Espero ter ajudado!