Question

se uma sequencia qualquer for simultaneamente, uma PA e uma PG, então, necessariamente, será constante ? Demostre

Answer 1

Em uma PA o segundo termo é sempre a média aritmética do primeiro com o terceiro termo, de forma generalizada, em uma PA o termo central é sempre a média aritmética do termo anterior com o termo sucessor.
logo: a2 = (a1+a3)/2

 uma PG o termo central é a média geométrica de seu antecessor com seu sucessor, assim:
a2 = √(a1 . a3)

Então temos que se a sequencia for simultaneamente uma PA e uma PG:
(a1 + a3)/2 = √(a1 . a3)          eleve ambos os lados ao quadrado:
(a1 + a3)²/4 = a1.a3               passe o 2 multiplicando:
(a1 + a3)² = 4.a1.a3
a1² + 2.a1.a3 + a3² = 4.a1.a3       
a1² + 2.a1.a3 - 4.a1.a3 + a3² = 0
a1² - 2.a1.a3 + a3² = 0                agora reverta o produto notável:
(a1 - a3)² = 0          note que o único número que elevado ao quadrado                                         resulta em 0 é o próprio 0, assim:
a1 - a3 = 0   
a1 = a3         

Do ponto de vista de uma PA:
a1 = a1 + 2r
a1 - a1 = 2r
2r = 0 
r = 0/2 = 0

Do ponto de vista de uma PG:
a1 = a1 . q²
a1/a1 = q²
1 = q²
q = +/- √1
q1 = +1 
q2 = -1 << descartamos, já que não existe PA transitiva.

Agora note uma coisa, para que essa sequencia seja uma PA e uma PG ao mesmo tempo, a razão da PA deve ser 0 e a razão da PG deve ser 1, logo essa sequencia é constante.

Demonstração:
Sequencia: (4,4,4,4,4,4) <<< é uma PA de razão 0 e uma PG de razão 1.

Bons estudos