Question

Calcule a integral indefinida por inspeção:

$\displaystyle\int(\cos x+\mathrm{sen^2\,}x+x\,\mathrm{sen\,}x\cos x)e^{x\,\mathrm{sen\,}x}\,dx$

Favor detalhar bem o raciocínio utilizado para chegar ao resultado.

Answer 1

É dada a integral indefinida:

$\displaystyle I=\int (\cos(x)+\sin^2(x)+x\cos(x)\sin(x))\,e^{x\sin(x)}\,dx$

Manipulando-a:

$\displaystyle I=\int (\cos(x)+\sin^2(x)+x\cos(x)\sin(x))\,e^{x\sin(x)}\,dx\\\\ I=\int (\cos(x)+\sin(x)(\sin(x)+x\cos(x)))\,e^{x\sin(x)}\,dx$

Analisando o expoente presente no integrando:

$y(x)=x\sin(x)\Longrightarrow y'(x)\,dx=(\sin(x)+x\cos(x))\,dx$

Aplicando a observação na integral dada:

$\displaystyle I=\int (\cos(x)+\sin^2(x)+x\cos(x)\sin(x))\,e^{x\sin(x)}\,dx\\\\ I=\int (\cos(x)+\sin(x)\underbrace{(\sin(x)+x\cos(x))}_{y'(x)})\,\underbrace{e^{x\sin(x)}}_{e^{y(x)}}\,dx\\\\ I=\int (\cos(x)+\sin(x)y'(x))\,e^{y(x)}\,dx\\\\ I=\int (\cos(x)e^{y(x)}+\sin(x)y'(x)e^{y(x)})\,dx$

Seja $g(x)$ uma função tal que $g(x)=e^{y(x)}\Longrightarrow g'(x)=y'(x)e^{y(x)}$. Então, usando acima:

$\displaystyle I=\int (\cos(x)e^{y(x)}+\sin(x)y'(x)e^{y(x)})\,dx\\\\ I=\int (\cos(x)\cdot g(x)+\sin(x)\cdot g'(x))\,dx\\\\ I=\int [\sin(x)\cdot g(x)]'\,dx\\\\ I=\sin(x)\cdot g(x)+C$

Retornando às funções originais:

$I=\sin(x)\cdot g(x)+C\\\\ I=\sin(x)\cdot e^{y(x)}+C\\\\ I=\sin(x)\cdot e^{x\sin(x)}+C\\\\ \boxed{\int (\cos(x)+\sin^2(x)+x\cos(x)\sin(x))\,e^{x\sin(x)}\,dx=\sin(x)\, e^{x\sin(x)}+C}$