Question

As raízes do polinômio P(x) são –2, 1 e 2. e o ponto de interseção com o eixo Y tem
a ordenada igual a 3.
(A) Escreva o polinômio P(x);
(B) Calcule P(-1), P(3) e P(4).

Answer 1

Bom dia 

P(x) é um  polinômio 3° grau 

P(x) = (x + 2)*(x - 1)*(x - 2) 

P(x) = a*(x² - 4)*(x - 1) = ax³ - ax² - 4ax + 4a 

interseção com o eixo Y tem a ordenada igual a 3.

P(0) = 4a = 3

a = 3/4 

A) P(x) = a*(x² - 4)*(x - 1) = (3x³ - 3x² - 12x + 12)/4 

B) Calcule P(-1), P(3) e P(4)

P(-1) = (-3 - 3 + 12 + 12)/4 = 18/4 = 8/2
P(3)  = (81 - 27 - 36 + 12)/4 = (93 - 63)/4 = 30/4 = 15/2 
P(4)  = (192 - 48 - 48 + 12)/4 = (204 - 96)/4 = 108/4 = 27

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Samaralacerda, que a resolução é mais ou menos simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Tem-se que as raízes do polinômio P(x) são "-2", "1" e "2" e o ponto de intersecção com o eixo "y" tem ordenada igual a "3".

ii) Note que uma equação do 3º grau, da forma P(x) = ax³ + bx² + cx + d,com raízes iguais a x', x'' e x''', poderá ser expressa em função de suas raízes da seguinte forma:

ax³ + bx² + cx + d = a*(x-x')*(x-x'')*(x-x''').

iii) Assim, tendo a relação acima como parâmetro, então o polinômio P(x) da sua questão, que tem raízes iguais a "-2", "1" e "2", poderá ser expresso assim:

P(x) = a*(x-(-2))*(x-1)*(x-2) --- ou apenas:
P(x) = a*(x+2)*(x-1)*(x-2) ---- efetuando este produto, teremos:
P(x) = a*(x³ - x² - 4x + 4) ---- finalmente, efetuando o produto por "a", ficamos assim:

P(x) = ax³ - ax² - 4ax + 4a       . (I)

iv) Mas veja que foi dado que o gráfico da função corta o eixo dos "y" na ordenada igual a "3". Isto significa que quando "x' for igual a "0", então teremos que P(x) será igual a "3". Então vamos igualar P(x) a "3" e vamos fazer x = 0 na equação da expressão (I) acima. Assim, fazendo isso, teremos:

3 = 0 - 0 - 0 + 4a --- ou apenas:
3 = 4a ---- vamos apenas inverter, ficando:
4a = 3
a = 3/4 <--- Este será o valor de "a".

v) Então vamos na expressão (I) acima e , nela, substituiremos "a' por "3/4". Fazendo isso, teremos:

P(x) = (3/4)*x³ - (3/4)*x² - 4*(3/4)*x + 4*3/4 ---- desenvolvendo, temos:
P(x) = 3x³/4 - 3x²/4 - 12x/4 + 12/4 ------ fazendo as devidas simplificações, ficaremos com:

P(x) = 3x³/4 - 3x²/4 - 3x + 3  <--- Este é o polinômio procurado. Então esta é a resposta para a questão do item "a".

vi) Agora vamos para a questão do item "b", que pede os valores de P(-1), P(3) e P(4). Assim teremos:

vi.1) Para P(-1), substituiremos "x'' por"-1" na expressão de P(x). Assim:

P(-1) = 3*(-1)³/4 - 3*(-1)²/4 - 3*(-1) + 3 ---- desenvolvendo, temos:
P(-1) = 3*(-1)/4 - 3*(1) - 3*(-1) + 3 ---- continuando desenvolvendo, temos:
P(-1) = -3/4 - 3/4 + 3 + 3 --- como "-3/4-3/4 = -6/4; e como 3+3 = 6", temos:
P(-1) = -6/4 + 6 ---- mmc = 4. Assim, utilizando-o, teremos:
P(-1) = (1*(-6)) + 4*6)/4
P(-1) = (-6 + 24)/4
P(-1) = (18)/4 --- ou apenas:
P(-1) = 18/4 ----- simplificando numerador e denominador por "2", temos:
P(-1) = 9/2 <---  Este é o valor de P(-1).

vi.2) Para P(3) substituiremos "x" por "3'' na expressão de P(x). Assim:

P(3) = 3*3³/4 - 3*3²/4 - 3*3 + 3
P(3) = 3*27/4 - 3*9/4 - 9 + 3
P(3) = 81/4 - 27/4 - 9 + 3 ----- como "81/4-27/4 = 54/4" e como "-9+3 = -6", teremos:
P(3) = 54/4 - 6 ----- mmc = 4. Assim:
P(3) = (1*54 - 4*6)/4
P(3) = (54 - 24)/4
P(3) = (30)/4 -- ou apenas:
P(3) = 30/4 ---- simplificando-se numerador e denominador por "2", temos:
P(3) = 15/2 <--- Este é valor de P(3).

vi.3) Para P(4) substituiremos "x" por "4" na expressão de P(x). Assim:

P(4) = 3*4³/4 - 3*4²/4 - 3*4 + 3
P(4) = 3*64/4 - 3*16/4 - 12 + 3
P(4) = 192/4 - 48/4 - 12 + 3 ---- como "192/4 = 48" e como "48/4 = 12", teremos:
P(4) = 48 - 12 - 12 + 3 ---- efetuando esta soma algébrica, teremos:
P(4) = 27 <--- Este é o valor de P(4).

vii) Assim, resumindo, temos que:

P(-1) = 9/2; P(3) = 15/2; e P(4) = 27 <-- Esta é a resposta para a questão do item "b".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.