Question

Resolva a integral indefinida.


$\mathsf{\displaystyle\int \dfrac{\sqrt{x^2 + 1}}{x}~dx}$


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Por favor responder de forma detalhada.

Answer 1

Calcular a integral indefinida

$\displaystyle\int\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}\,dx\\\\\\ =\int\frac{\sqrt{x^2+1}}{x\cdot x}\cdot x\,dx\\\\\\ =\int\frac{\sqrt{x^2+1}}{x^2}\cdot x\,dx$

Enbora seja possível usar substituição trigonométrica aqui, essa em particular dá para resolver por substituição simples.

Faça apenas a seguinte substituição:

$\sqrt{x^2+1}=u\\\\\\ \Rightarrow\quad\left\{\!\begin{array}{lcl}x^2+1=u^2&\quad\Rightarrow\quad&x^2=u^2-1\\\\ 2x\,dx=2u\,du &\quad\Rightarrow\quad& x\,dx=u\,du\end{array}\right.$

e a integral fica

$\displaystyle=\int\frac{u}{u^2-1}\cdot u\,du\\\\\\ =\int\frac{u^2}{u^2-1}\,du\\\\\\ =\int\frac{u^2-1+1}{u^2-1}\,du\\\\\\ =\int\left(\frac{u^2-1}{u^2-1}+\frac{1}{u^2-1}\right)du\\\\\\ =\int\left(1+\frac{1}{u^2-1}\right)du$

$\displaystyle=\int 1\,du+\int\frac{1}{u^2-1}\,du\\\\\\ =\int 1\,du+\int\frac{1}{(u-1)(u+1)}\,du\qquad\mathbf{(i)}$

A integral que aparece na 1ª parcela acima é imediata. Já a que aparece na 2ª parcela pode ser resolvida via frações parciais:

$f(u)=\dfrac{1}{(u-1)(u+1)}=\dfrac{A}{u-1}+\dfrac{B}{u+1}\\\\\\ \dfrac{1}{(u-1)(u+1)}=\dfrac{A(u+1)+B(u-1)}{(u-1)(u+1)}\\\\\\ \dfrac{0u+1}{(u-1)(u+1)}=\dfrac{(A+B)u+A-B}{(u-1)(u+1)}$

Por identidade polinomial nos numeradores, obtemos o sistema:

$\left\{\!\begin{array}{l}A+B=0\\\\ A-B=1\end{array}\right.$

Resolvendo o sistema acima, encontramos os valores das constantes:

$A=\dfrac{1}{2}~~\textsf{e}~~B=-\dfrac{1}{2}.$

Então, a expressão $\mathbf{(i)}$ fica

$\displaystyle=\int 1\,du+\int\left(\frac{\frac{1}{2}}{u-1}-\frac{\frac{1}{2}}{u+1}\right)du\\\\\\ =\int 1\,du+\frac{1}{2}\int\frac{1}{u-1}\,du-\frac{1}{2}\int\frac{1}{u+1}\,du\\\\\\ =u+\frac{1}{2}\ln\left|u-1\right|-\frac{1}{2}\ln\left|u+1\right|+C$

Voltando à variável $x:$

$=\sqrt{x^2+1}+\dfrac{1}{2}\ln\left|\sqrt{x^2+1}-1\right|-\dfrac{1}{2}\ln\left|\sqrt{x^2+1}+1\right|+C$

esta é a resposta.

Bons estudos! :-)

Answer 2

$\sf \displaystyle \int \frac{\sqrt{x^2+1}}{x}dx\\\\\\=\int \frac{u^2}{u^2-1}du\\\\\\=\int \frac{u^2}{-\left(-u^2+1\right)}du\\\\\\-\int \frac{u^2}{-u^2+1}du\\\\\\=-\int \frac{1}{-u^2+1}-1du\\\\\\=-\left(\int \frac{1}{-u^2+1}du-\int \:1du\right)\\\\\\=-\left(\frac{\ln \left|\sqrt{x^2+1}+1\right|}{2}-\frac{\ln \left|\sqrt{x^2+1}-1\right|}{2}-\sqrt{x^2+1}\right)\\\\\\=-\frac{1}{2}\ln \left|\sqrt{x^2+1}+1\right|+\frac{1}{2}\ln \left|\sqrt{x^2+1}-1\right|+\sqrt{x^2+1}$

$\sf \to \boxed{\sf =-\frac{1}{2}\ln \left|\sqrt{x^2+1}+1\right|+\frac{1}{2}\ln \left|\sqrt{x^2+1}-1\right|+\sqrt{x^2+1}+C}$