Question

ache o volume do solido gerado pela rotação em torno da reta x = - 4 da região limitada pelas parabolas x=y-y^2 e x=y^2-3

Answer 1

Olá.

Este exercício é um pouco trabalhoso e exige alguns detalhes sutis. Tentarei fazer do modo mais claro possível.

Usaremos os seguintes ingredientes :)

 Integral de funções polinomiais;

Produto notável:

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

Cálculo do volume por cascas.


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Para o volume, veja que se rodarmos uma das funções em torno do eixo dado, teremos um círculo de raio r = (x + 4), para qualquer valor de x. Esse círculo possui área πr²;

Agora veja que se subtrairmos da área do círculo maior(quando rodamos F(y)) a área do círculo menor(quando rodamos G(y)), teremos a área sob as curvas.

Agora vem a parte interessante. Se multiplicarmos a área de cada coroa circular por um altura minúscula em y(dy), obteremos um volume minúsculo para um dado intervalo. Porém, se somarmos todos esses volumes de y = -1 até y = 3/2 (os valores de y nas interseções), teremos o volume total do corpo.

Ora! Se estamos falando de uma soma de várias partes minúsculas, tratamos de uma integral!

Assim, a integral pedida é a da área das coroas multiplicada por dy, de -1 a 3/2.  Veja que para cada uma delas, o raio será um valor x, mas como queremos integrar com dy, faremos a substituição dos valores x pelos de suas respectivas funções.

Chega de texto, vamos aos cálculos :)


$\mathsf{V = \displaystyle\int_{-1}^{\frac32}[\pi(x_f +4)^2 -\pi(x_g + 4)^2] dy} \\ \\ \\ \mathsf{V = \pi \displaystyle\int_{-1}^{\frac32}[(y-y^2+4)^2-(y^2-3+4)^2]dy} \\ \\ \\ \mathsf{V = \pi\displaystyle\int_{-1}^{\frac32}[(y^2+y^4+16-2y^3+8y-8y^2)-(y^4+2y^2+1)]dy}$

Até aqui eu apenas fiz os cálculos e apliquei o produto notável. Veja que fiz antes y² - 3 + 4 = y² + 1 e apliquei o quadrado da soma. O 'Pi' surge da fórmula da área da circunferência e o dy, como disse, é a altura de cada coroa.

Se simplificarmos essa expressão, obteremos:

$\mathsf{V = \pi\displaystyle\int_{-1}^{\frac32}(-2y^3-9y^2+8y+15)dy} \\ \\ \\ \mathsf{V=\pi\left(-\dfrac{y^4}{2}-3y^3+4y^2+15y\right)_{-1}^{3/2}} \\ \\ \\ \mathsf{V = \pi\left[\left(-\dfrac{81}{32}-\dfrac{81}{8}+9+\dfrac{45}{2}\right)-(-\frac12+3+4-15)\right]}\\ \\ \\ \boxed{\mathsf{V = \dfrac{875\pi}{32} \ u.a.} } \:\:\: ou\:\:\:\: \boxed{\mathsf{V\approx85,9 \ u.a.}}$


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