Question

Calcule por substituição trigonométrica ∫x^3/(1-x)^3/2, por favor

Answer 1

Primeira forma: por partes 
u = x², du = 2x dx 
dv = x√(x²+3)dx, v = 1/3(x²+3)^(3/2) 

∫x³√(x²+3)dx = x²/3 (x²+3)^(3/2) - 2/3∫x(x²+3)^(3/2) dx 
∫x³√(x²+3)dx = x²/3 (x²+3)^(3/2) - 2/15(x²+3)^(5/2) 
∫x³√(x²+3)dx = (x²+3)^(3/2) * [x³/3 - 2/15x² - 2/5] 
∫x³√(x²+3)dx = (x²+3)^(3/2) * [x²/5 - 2/5] 
∫x³√(x²+3)dx = 1/5 * (x²-2)*(x²+3)^(3/2) 

Segunda forma: substituição trigonométrica 
x = √3*tgu 
dx = √3*sec²u du 

Seja d(secu)/du = sec'u = secu * tgu 

∫x³√(x²+3)dx = 9√3∫tg³u*sec³u du 
∫x³√(x²+3)dx = 9√3∫(sec²u - 1)sec³u*tgu du = 9√3∫sec^4(u)sec'u du - 9√3∫sec²u sec'u du 
∫x³√(x²+3)dx = 9√3/5sec^5(u) - 3√3sec³u 

sec(u) = √(tg²(u) + 1) = 1/√3 √[(√3tg(u))² + 3] = 1/√3 √[x² + 3] 

∫x³√(x²+3)dx = 1/5(x² + 3)^5/2 - (x² + 3)^3/2 
∫x³√(x²+3)dx = 1/5(x² + 3 - 5)(x² + 3)^3/2 = 1/5(x² - 2)(x² + 3)^3/2