Question

a medida do raio de uma circunferência cuja a equação geral é x²+y²-6x -10y +30=0, é a medida do lado de um triângulo equilátero. Então podemos afirmar que aárea desse trinângulo é:

Answer 1

Para sabermos o raio da circunferência temos que pegar da equação geral para a equação normal na forma (x-a)² + (y-b)² = r² em que (a,b) é o centro da circunferência e r é o raio da mesma. Para isso temos que usar o método de "completar trinômios quadrados perfeitos". Um número (x-a)² = x² - 2ax + a².
Portanto, temos a equação geral:

 x² + y² - 6x - 10y + 30 = 0

Separando os fatores com x e y:

 x² - 6x + y² - 10y + 30 = 0

Podemos escrever -6x = -2*3*x e -10*y = -2*5*y. Se olharmos para o formato da equação normal temos que a = 3 e b = 5. Reescrevendo a equação, temos que:

x² - 6x + y² - 10y + 21 + 9 = 0
x² - 6x + 9  + y² - 10y + 21 = 0
(x-3)² + y² - 10y + 21 = 0

Para completar um trinômio quadrado perfeito para y, temos que somar 4 aos dois lados da equação. Logo:

(x-3)² + y² - 10y + 21 + 4 = 0 + 4
(x-3)² + y² - 10y + 25 = 4
(x-3² + (y-5)² = 4
(x-3² + (y-5)² = 4

Portanto, temos que o centro da circunferência é o ponto (3,5) e o raio é √4= 2. Logo, o lado do triângulo é 2. 

Pela formula da área do triangulo equilátero que é A = L²√3/4, temos que 
A = 4√3/4
A = √3