Question

Um homem e um menino se propõem a transportar um pedaço de madeira de 9m de comprimento e 500N de peso, cujo centro de gravidade está situado a 2m de uma das extremidades. Se o homem se colocar no extremo mais próximo do centro de gravidade, qual a posição que o menino deve ocupar, a contar do outro extremo, para que faça um terço da força do homem?

Answer 1

Bom dia!

Para resolver esse problema, precisamos aplicar as condições de equilíbrio mecânico sobre a barra de madeira:

1) A força resultante deve ser nula
2) O torque resultante deve ser nulo


Força resultante

A força resultante é, simplesmente, a soma das forças que atuam no bloco de madeira. A força peso é vertical e aponta para baixo, ao passo que as forças do homem e do menino apontam na direção vertical para cima. Somando essas forças, temos:

$F_{res}=F_1+F_2-P$

onde

$F_1$ é o módulo da força aplicada pelo homem
$F_2$ é o módulo da força aplicada pelo menino
$P$ é o módulo da força peso da madeira

Como a peça de madeira deve estar em equilíbrio, estabelecemos que a força resultante é nula. Logo,

$0=F_1+F_2-P$

Ainda, queremos que a força aplicada pelo menino seja 1/3 da força aplicada pelo homem, isto é, 

$F_2=\frac{F_1}{3}$

Com isso, e utilizando o valor da força peso da madeira, temos:

$0=F_1+F_2-P$
$0=F_1+\frac{F_1}{3}-500$
$0=\frac{4F_1}{3}-500$
$\frac{4F_1}{3}=500$
$F_1=375\,\text{N}$

Ou seja, a força aplicada pelo homem é de 375 N. Para a força aplicada pelo menino, obtemos:

$F_2=\frac{F_1}{3}$
$F_2=\frac{375}{3}$
$F_2=125\,\text{N}$


Torque resultante

Lembre-se agora que o torque de uma força em relação a um dado ponto é dado pelo produto força vezes distância (no caso de forças perpendiculares à barra, se não fossem perpendiculares, deveríamos levar em conta o ângulo entre a força e a barra). Isto é, temos:

$\tau=F\cdot{d}$

Vamos calcular o torque resultante em relação à extremidade onde o homem está situado. Dessa forma, o torque produzido pelo homem será nulo. Com isso, temos:

$\tau_{res}=\tau_2-\tau_P$

onde

$\tau_2$ é o torque produzido pelo menino
$\tau_P$ é o torque produzido pela força peso

Obs.: Note o sinal dos torques. A força peso faz a barra girar em um dado sentido e a força do menino faz a barra girar no sentido contrário. Por isso, esses torques devem ter sinais opostos. A escolha dos sinais é convencionada, podemos escolher livremente, desde que respeitemos que esses torques tem sinais opostos.

Estabelecemos que o torque resultante é nulo, para que a barra não comece a girar. Logo,

$\tau_{res}=\tau_2-\tau_P$
$0=\tau_2-\tau_P$

Vamos supor que o menino está a uma distância d da extremidade onde está o homem. O centro de gravidade da barra está a 2 m desse ponto. Escrevendo os torque em termos das forças obtemos, então:

$0=F_2\cdot{d}-P\cdot{2}$

Utilizando os valores para a força do menino e para a força peso, temos:

$0=125d-2\cdot{500}$
$0=125d-1000$
$125d=1000$
$d=\frac{1000}{125}$
$d=8\,\text{m}$

Assim, concluímos que o menino deve se colocar a 8 m da extremidade onde está o homem para poder aplicar uma força três vezes menor do que a força aplicada pelo homem.

Espero ter ajudado! Qualquer dúvida, deixa um comentário!

Answer 2

Resposta:

A distância será de 8 metros. Segue na imagem o cálculo: