Question

Considere um triângulo retângulo isósceles ABC com AB=AC=4. Seja P o ponto médio de AB e os pontos N e M, tomados sobre os lados AC e BC, respectivamente. Qual o menor valor para o perímetro do triângulo PMN?

Answer 1

Achei esse problema um tanto quanto peculiar, irei resolver do meu jeito. Se tiver o gabarito confira. (Não consigo pensar outra solução)
Vou supor que M e N também sejam os pontos médios de seus respectivos lados.

$Hipotenusa \ do \triangle ANP: NP^2 = AP^2 + AN^2\\ Como\ N\ e\ P\ sao\ pontos\ medios\ do\ \triangle ABC, tem-se:\\ NP^2 = 2^2 + 2^2\\ NP = \sqrt8 = 2\sqrt2\\\\ Observe\ que\ o\ lado\ MN\ e\´ \ igual\ AP = 2\ (AP: ponto\ medio\ de\ AB)\\\\ E que\ MP = NA = 2 (NA: Ponto\ medio\ de\ AC)\\\\ Logo,\ o\ menor\ perimetro\ e\´ : 2+2+\sqrt{2}\ = 4+2\sqrt2$