Question

Do conjunto 1,2,3,...,80retiram-se sete números
em progressão aritmética. Se a soma dos números
restantes no conjunto remanescente é 3114, então
o quarto termo da progressão retirada é:
QUERO RESOLUÇÃO

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Nayara, que a resolução é simples. Depende apenas de conhecimento sobre progressões aritméticas.
Antes de iniciar, veja que o 4º termo de uma PA é dado por:

a₄ = a₁ + 3r        . (I)

Vamos "guardar" a expressão (I) acima que vamos já necessitar dela daqui a pouco.

Agora vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Primeiro vamos encontrar qual é a soma dos termos da PA original, que é esta:
(1; 2; 3; ....; 80). Veja que a fórmula da soma dos termos de uma PA é dada assim:

Sn = (a₁+an)*n/2

Na fórmula acima "Sn" é a soma dos "n" primeiros termos da PA. Como queremos a soma de todos os 80 termos da PA original, então substituiremos "Sn" por "S₈₀". Por sua vez, substituiremos "a₁" por "1", que é o primeiro termo da PA original. Por seu turno, substituiremos "an" por "80", que é o último termo da PA original. Finalmente, substituiremos "n" por "80", que é o número de termos da PA original. Então ficaremos assim:

S₈₀ = (1+80)*80/2 ---- como "1+80 = 81" e  "80/2 = 40", teremos:
S₈₀ = (81)*40 --- ou apenas:
S₈₀ = 81*40 ---- note que este produto dá exatamente "3.240". Logo:
S₈₀ = 3.240 <--- Esta é a soma de todos os termos da PA original.

ii) Agora veja: se quando retirarmos os 7 termos em PA da sequência original, teremos que a soma dos termos da PA remanescente fica igual a "3.114", então a diferença entre a soma dos termos da PA original menos a soma dos termos da PA retirada, deverá dar igual à soma dos termos dessa PA retirada. Logo, teremos que a soma da PA retirada será de:

3.240 - 3.114 = 126 <-- Esta será a soma dos termos da PA retirada.

iii) Agora vamos, novamente, aplicar a soma da PA dos 7 termos retirados. Assim, teremos;

Sn = (a1 + an)*n/2

Na fórmula acima substituiremos "Sn" por "S₇", que, por sua vez, é igual a "126", como vimos acima. Por seu turno, substituiremos "n" por "7", já que a PA retirada tem 7 termos. Assim, ficaremos com:

126 = (a₁+an)*7/2 --- multiplicando-se em cruz, teremos:
2*126 = (a₁+an)*7
252 = (a₁+an)*7          . (II)

iv) Agora veja: vamos aplicar a fórmula do termo geral de uma PA para colocarmos "an" em função de "a₁". A fórmula do termo geral de uma PA é esta:

an = a₁ + (n-1)*r

Na fórmula acima, substituiremos "n" por "7", já que a PA retirada tem 7 termos. Assim, teremos:

an = a₁ + (7-1)*r
an = a₁ + (6)*r
an = a₁ + 6r     . (III)

v) Agora vamos na expressão (II), que é esta:

252 = (a₁+an)*7 --- vamos substituir "an" por "a₁+6r", conforme encontramos na expressão (III) acima. Então, fazendo isso, teremos:

252 = (a₁ + a₁+6r)*7 ----- reduzindo os termos semelhantes, teremos;
252 = (2a₁ + 6r)*7 ---- efetuando este produto, ficaremos:
252 = 14a₁ + 42r ---- vamos apenas inverter, ficando assim:
14a₁ + 42r = 252 ---- agora vamos dividir ambos os membros por "14", com o que iremos ficar da seguinte forma:

a₁ + 3r = 18  <--- Agora compare este resultado com o que está demonstrado lá na expressão (I), que "guardamos" logo no início dizendo que íamos precisar dela depois (lembra?). Veja que o que está expresso aí em cima nada mais é do que o 4º termo da PA retirada. Assim, teremos que o 4º termo (a₄) da PA retirada será igual a "18". Ou seja:

a₄ = 18 <--- Esta é a resposta. Opção "E".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.

Answer 2

1) Soma de uma P.A -> Sn= (a1 + an). n/2

S80 = (1+80).80/2

S80 = 81.40

S80 = 3240.

Sabemos que retirou 7 números, então: 3240-7= 3114, logo de 3240 para 3114 diminuiu 126 (que no caso é o resultado da soma dos números retirados).

2) Fiz por alternativa, como são 7 termos então peguei as alternativas e somei 7 vezes para dar como resultado 126. Que no caso a alternativa E => 18+18+18+18+18+18+18= 126.