Question

Um jogador de xadrez tem 2|5 de probabilidade de vitória quando joga. Na realização de cinco partidas, determinar a probabilidade de esse jogador vencer :


a) duas partidas; em porcentagem.
b) mais de duas partidas, em porcentagem.

Obs: Por favor só responda quem realmente souber. Brincadeiras e cópias serão apagadas. Obrigada!!

Answer 1

Olá ! 

Temos um Binomial : 

Onde o sucesso = 2/5 , o fracasso = 3/5 

serão 5 partidas ... 

Usaremos a fórmula : 

P (n,x) = C n,x . p^(x).q^(n-x)

p = sucesso, q = fracasso , n = quantidade de jogadas, x jogadas desejadas

a)

Desejamos 2 vitórias... 

P (5,2) = C 5,2 . (2/5)^(2) . (3/5)^(5-2) 

P (5,2) = 5!/2!.(5-2)! . 4/25 . (3/5)³ 

P (5,2) = 5.4.3!/2.1.3! . 4/25 . 27/125 

P (5,2) = 20/2 . 108/3 125 

P (5,2) = 10 . 108/3 125 

P (5,2) = 1 080/3 125 

P (5,2) = 0,3456 

P (5,2) = 34,56 % de chances de vencer 2 partidas. 

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b) 

Mair de 2 partidas ... 

é o mesmo que vencer 3 , 4 ou 5 partidas ... 

Então basta somar : 

P(5,3) + P(5,4) + P(5,5) 

Encontrando os valores : 

P(5,3) = 5!/3!.(5-3)! . (2/5)^(3) . (3/5)^(5-3)

P(5,3) = 5.4.3!/3!.2.1 . 8/125 . (3/5)² 

P(5,3) = 20/2 . 8/125 . 9/25 

P(5,3) = 10 . 72/3 125 

P(5,3) = 720/3 125

P(5,3) = 0,2304 

P(5,3) = 23,04 % de ser 3 vitórias 

-------------------------------------------------

P(5,4) = 5!/4!.(5-4)! . (2/5)^4 . (3/5)^(5-4) 

P(5,4) = 5.4!/4!.1! . 16/625 . (3/5)^1 

P(5,4) = 5 . 16/625 . 3/5 

P(5,4) = 5. 48/3 125 

P(5,4) = 240/3 125

P(5,4) = 0,0768 

P(5,4) = 7,68 % de ser 4 vitórias 

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P(5,5) = 5!/5!.(5-5)! . (2/5)^(5) . (3/5)^(5-5) 

P(5,5) = 5!/5!.0! . 32/3 125 . (3/5)^(0) 

P(5,5) = 1 . 32/3 125 . 1 

P(5,5) = 32/3 125 

P(5,5) = 0,01024

P(5,5) = 1,024 % de ser 5 vitórias 

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Agora basta somar : 


P(5,3) + P(5,4) + P(5,5) 


23,04 % + 7,68 % + 1,024 % = 31,744 %  de chances  vencer mais de 2 partidas . 




                                                                                                                   ok 

Answer 2

$\boxed{\boxed{Ola\´\ Camponesa}}$

Vamos usar o ''MÉTODO BINOMIAL'' para resolver este exercício.

Fórmula =>

$P(k)=\dbinom{n}{k}\ \times{S^{K}}\times{F^{N-K}}\\ \\ \\ \underline{{Onde:}}\\ \\ K=Sucesso~desejado\\ S=Sucesso\\ F=Fracasso\\ N=Quantidade~de~jogadas$

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Agora vamos substituir os valores da questão na fórmula.

Letra A: Duas partidas em (%)

$P(2)=\dbinom{5}{2}\ \times\left ( \dfrac{2}{5} \right )^2\times{\left ( \dfrac{3}{5} \right )^{5-2}$

Camps , primeiro iremos calcular nosso número binomial ...

$\dbinom{5}{2} =C~_5_,_2= \dfrac{5!}{2!\times(5-2)!}\\ \\ \\ C~_5_,_2= \dfrac{5\times4\times3\times2\times1}{2\times1\times(3)!}\\ \\ \\ C~_5_,_2= \dfrac{5\times4\times3\times2\times1}{2\times1\times3\times2\times1}\\ \\ \\C~_5_,_2= \dfrac{120}{12}\\ \\ \\\boxed{\boxed{{C~_5_,_2=10 }}}$

Agora vamos resolver o resto , e depois multiplicar pelo resultado do número binomial.

$\left ( \dfrac{2}{5} \right )^2\times{\left ( \dfrac{3}{5} \right )^{5-2}$

$\left \dfrac{4}{25} \right\times{\left ( \dfrac{3}{5} \right )^{3}$

$\dfrac{4}{25}\times \dfrac{27}{125} \\ \\ \\=\boxed{\boxed{{\dfrac{108}{3125}}}}$

Agora iremos multiplicar pelo número binomial .

$\dfrac{108}{3125}\times10\\ \\ \\ \dfrac{1080}{3125} \\ \\ \\ =0,3456\\ \\ \\ =\boxed{\boxed{{34,56\%}}}$

Letra B : Mais de duas partidas, em (%)

Como o total de partidas é 5 , pra ser mais que duas partidas , só vencendo 3,4 ou 5 partidas , para isso temos que calcular a probidade de vencer as mesmas e no final somar pra saber a probabilidade de ser obter mais que duas vitórias , é só seguir o mesmo raciocínio que a pergunta anterior .

Probabilidade de vencer 3 partidas :

$P(3)=\dbinom{5}{3}\ \times\left ( \dfrac{2}{5} \right )^3\times{\left ( \dfrac{3}{5} \right )^{5-3}$

Primeiro iremos calcular nosso número binomial ...

$\dbinom{5}{3} =C~_5_,_3= \dfrac{5!}{3!\times(5-3)!}\\ \\ \\ C~_5_,_3= \dfrac{5\times4\times3\times2\times1}{3\times2\times1\times(2)!}\\ \\ \\ C~_5_,_3= \dfrac{5\times4\times3\times2\times1}{3\times2\times1\times2\times1}\\ \\ \\C~_5_,_3= \dfrac{120}{12}\\ \\ \\\boxed{\boxed{{C~_5_,_3=10 }}}$

Agora vamos resolver o resto , e depois multiplicar pelo resultado do número binomial.

$\left ( \dfrac{2}{5} \right )^3\times{\left ( \dfrac{3}{5} \right )^{5-3}$

$\left \dfrac{8}{125} \right\times{\left ( \dfrac{3}{5} \right )^{2}$

$\dfrac{8}{125}\times\dfrac{9}{25} \\ \\ \\ =\boxed{\boxed{{\dfrac{72}{3125}}}}$

Agora iremos multiplicar pelo número binomial .

$\dfrac{72}{3125}\times10\\ \\ \\ \dfrac{720}{3125} \\ \\ \\ =0,2304\\ \\ \\ =\boxed{\boxed{{23,04\%}}}$

Probabilidade de vencer 4 partidas:

$P(4)=\dbinom{5}{4}\ \times\left ( \dfrac{2}{5} \right )^4\times{\left ( \dfrac{3}{5} \right )^{5-4}$

Primeiro iremos calcular nosso número binomial ...

$\dbinom{5}{4} =C~_5_,_4= \dfrac{5!}{4!\times(5-4)!}\\ \\ \\ C~_5_,_4= \dfrac{5\times4\times3\times2\times1}{4\times3\times2\times1\times(1)!}\\ \\ \\ C~_5_,_4= \dfrac{5\times4\times3\times2\times1}{4\times3\times2\times1\times1}\\ \\ \\C~_5_,_4= \dfrac{120}{24}\\ \\ \\\boxed{\boxed{{C~_5_,_4=5 }}}$

Agora vamos resolver o resto , e depois multiplicar pelo resultado do número binomial.

$\left (\dfrac{2}{5} \right )^4\times{\left (\dfrac{3}{5} \right )^{5-4}$

$\left \dfrac{16}{625} \right\times{\left (\dfrac{3}{5} \right )^{1}$

$\dfrac{16}{625}\times \dfrac{3}{5} \\ \\ \\=\boxed{\boxed{{\dfrac{48}{3125}}}}$

Agora iremos multiplicar pelo número binomial .

$\dfrac{48}{3125}\times5\\ \\ \\ \dfrac{240}{3125} \\ \\ \\ =0,0768\\ \\ \\ =\boxed{\boxed{{7,68\%}}}$

Probabilidade de vencer 5 partidas:

$P(5)=\dbinom{5}{5}\ \times\left ( \dfrac{2}{5} \right )^5\times{\left ( \dfrac{3}{5} \right )^{5-5}$

Primeiro iremos calcular nosso número binomial ...$\dbinom{5}{5} =C~_5_,_5= \dfrac{5!}{5!\times(5-5)!}\\ \\ \\ C~_5_,_5= \dfrac{5\times4\times3\times2\times1}{5\times4\times3\times2\times1\times(0)!}\\ \\ \\ C~_5_,_5= \dfrac{5\times4\times3\times2\times1}{5\times4\times3\times2\times1\times1}\\ \\ \\C~_5_,_5= \dfrac{120}{120}\\ \\ \\\boxed{\boxed{{C~_5_,_5=1 }}}$

Agora vamos resolver o resto , e depois multiplicar pelo resultado do número binomial.

$\left ( \dfrac{2}{5} \right )^5\times{\left ( \dfrac{3}{5} \right )^{5-5}$

$\left \dfrac{32}{3125} \right\times1$

$\dfrac{32}{3125}\times1 \\ \\ \\ =\boxed{\boxed{{\dfrac{32}{3125}}}}$

Agora iremos multiplicar pelo número binomial .

$\dfrac{32}{3125}\times1\\ \\ \\ \dfrac{32}{3125} \\ \\ \\ =0,01024\\ \\ \\ =\boxed{\boxed{{1,024\%}}}$

Agora somando temos :

$\dfrac{23,04}{100} +\dfrac{7,68}{100} + \dfrac{1,024}{100} =\boxed{\boxed{{\dfrac{31,744}{100}\ Ou\ \underline{{31,744\%}} }}}$

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Espero ter ajudado!