Question

Encontre o valor ax na igualdade x+3x+...+729x=5465 sabendo que os termos do primeiro membro forman uma P.G

Answer 1

Olá.

Para resolver essa questão, vamos usar a fórmula do termo geral, razão e da soma de termos de uma PG finita.

$\mathsf{q=\dfrac{a_n}{a_{n-1}}}\\\\\mathsf{a_n=a_1\cdot q^{n-1}}\\\\\mathsf{S_n=\dfrac{a_1\cdot(q^n-1)}{q-1}}$

Onde:
q: razão;
aₙ: enésimo termo;
Sₙ: soma de n termos da PG.

Primeiro, vamos descobrir a razão, usando o primeiro e segundo termo.

$\mathsf{q=\dfrac{a_n}{a_{n-1}}}\\\\\\\mathsf{q=\dfrac{3x}{x}}\\\\\\\mathsf{q=3}$

Tendo a razão, vamos descobrir qual é o último termo dessa PG, que vale 729x.

$\mathsf{a_n=a_1\cdot q^{n-1}}\\\\\mathsf{729x=x\cdot3^{n-1}}\\\\\mathsf{3^6\cdot x=x\cdot 3^{n-1}}$

Como ambos os membros tem x * 3, podemos igualar apenas os expoentes, que é o que nos interessa.

$\mathsf{6=n-1}\\\\\mathsf{6+1=n}\\\\\mathsf{7=n}$

Agora, vamos substituir todos os valores na fórmula da soma dos n termos.

$\mathsf{S_n=\dfrac{a_1\cdot(q^n-1)}{q-1}}\\\\\\ \mathsf{5.465 =\dfrac{x\cdot(3^{7}-1)}{3-1}}\\\\\\ \mathsf{5.465 =\dfrac{x\cdot(2.187-1)}{2}}\\\\\\ \mathsf{5.465\cdot2=x\times(2.186)}\\\\ \mathsf{10.930=x\cdot(2.186)}\\\\ \mathsf{\dfrac{10.930}{2.186}=x}\\\\\\ \boxed{\mathsf{5=x}}$

Qualquer dúvida, deixe nos comentários.
Bons estudos.