Question

Resolver por integração trigonométrica: Integral de dx/(X^2 + 9)^3/2

Answer 1

Oi Renata!

$\displaystyle \int \frac{dx}{(x^2+9)^{3/2}} \\ \\ \\ \int \frac{1}{\sqrt{( \, 9+x^2)^3}} \, dx \\ \\ \\ \int \frac{1}{\sqrt{( \, 3^2+x^2)^3}} \, dx$

Agora podemos fazer a seguinte substituição:

$\displaystyle x = 3 \tan \theta \\ \\ dx = 3 \sec^2 \theta \, \, d \theta$

Voltando do início:

$\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{( \, 9+x^2)^3}} \, dx \\ \\ \\ \int \frac{1}{\sqrt{( \, 9+(3 \tan \theta)^2)^3}} \cdot 3 \sec^2 \theta \, \, d \theta \\ \\ \\ 3 \cdot \int \frac{1}{\sqrt{( \, 9+9 \tan^2 \theta)^3}} \cdot \sec^2 \theta \, \, d \theta \\ \\ \\ 3 \cdot \int \frac{1}{\sqrt{( \, 9 \cdot (1+\tan^2 \theta) )^3}} \cdot \sec^2 \theta \, \, d \theta$

De acordo com a seguinte identidade trigonométrica:

$\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1 \\ \\ -1-\tan^2 \theta = - \sec^2 \theta \\ \\ 1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$

Temos:

$\displaystyle 3 \cdot \int \frac{1}{\sqrt{( \, 9 \cdot \sec^2 \theta )^3}} \cdot \sec^2 \theta \, \, d \theta \\ \\ \\ 3 \cdot \int \frac{1}{(9 \cdot \sec^2 \theta)^{3/2}} \cdot \sec^2 \theta \, \, d \theta \\ \\ \\ 3 \cdot \int \frac{1}{9^{\frac{3}{2}} \cdot \sec^{2 \cdot \frac{3}{2}} \theta} \cdot \sec^2 \theta \, \, d \theta \\ \\ \\ 3 \cdot \int \frac{1}{27 \cdot \sec^{3} \theta} \cdot \sec^2 \theta \, \, d \theta$

Continuando em outra linha:

$\displaystyle \frac{3}{27} \cdot \int \frac{\sec^2 \theta}{\sec^3 \theta} \, \, d \theta \\ \\ \\ \frac{1}{9} \cdot \int \frac{1}{\sec \theta} \, \, d \theta$

De acordo com a identidade trigonométrica:

$\displaystyle \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} \\ \\ \\ \cos \theta = \frac{1}{\sec \theta}$

Daí temos:

$\displaystyle \frac{1}{9} \cdot \int \cos \theta \, \, d \theta \\ \\ \\ \frac{1}{9} \sin \theta + C$

De acordo com a premissa:

$\displaystyle x = 3 \tan \theta \\ \\ \\ \tan \theta = \frac{x}{3}$

Comparando as fórmulas e imaginando um triângulo reto:

$\displaystyle \tan \theta = \frac{x}{3} \\ \\ \\ \tan \theta = \frac{\mathsf{cateto \, \, oposto}}{\mathsf{cateto \, \, adjacente}}$

Esse triângulo terá o cateto oposto sendo igual a x e cateto adjacente igual a 3

Aplicando Pitágoras para encontrar a hipotenusa, temos:

$h^2 = 3^2 + x^2 \\ \\ h = \sqrt{9+x^2}$

Com os valores do cateto oposto, adjacente e da hipotenusa em mãos, podemos comparar a seguinte fórmula:

$\displaystyle \sin \theta = \frac{\mathsf{cateto \, \, oposto}}{\mathsf{hipotenusa}} \\ \\ \\ \sin \theta = \frac{x}{\sqrt{9+x^2}}$

E nosso resultado final será:

$\displaystyle \frac{1}{9} \sin \theta + C \\ \\ \\ \boxed{\boxed{ \frac{x}{9 \sqrt{9+x^2}} + C }}$