Question

Resolver por integração trigonométrica: Integral de ∫raiz de (16-x^2), ela é definida de 4 a 2 raiz de 2

Answer 1

Farei apenas o cálculo da integral indefinida. O cálculo da área em I = [4,2√2] fica por sua conta, afinal, é só fazer F(b) - F(a). Apenas substituições básicas.

$\displaystyle \int \sqrt{16-x^2} \, dx \\ \\ \\ \int \sqrt{4^2-x^2} \, dx$

Faremos a seguinte substituição:

$x = 4 \sin \theta \\ \\ dx = 4 \cos \theta \, \, d \theta$

Voltando:

$\displaystyle \int \sqrt{16-x^2} \, dx \\ \\ \\ \int \sqrt{16-(4 \sin \theta)^2} \cdot 4 \cos \theta \, \, d \theta \\ \\ \\ 4 \cdot \int \sqrt{16-16 \sin^2 \theta} \cdot \cos \theta \, \, d \theta \\ \\ \\ 4 \cdot \int \sqrt{16 \cdot (1- \sin^2 \theta)} \cdot \cos \theta \, \, d \theta$

De acordo com a identidade:

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \\ \\ \cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$

Temos:

$\displaystyle 4 \cdot \int \sqrt{16 \cdot \cos^2 \theta} \cdot \cos \theta \, \, d \theta \\ \\ \\ 4 \cdot \int 4 \cdot \cos \theta \cdot \cos \theta \, \, d \theta \\ \\ \\ 16 \cdot \int \cos^2 \theta \, \, d \theta$

Usando mais uma identidade:

$\displaystyle \cos^2 \theta = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos(2 \theta)$

Temos:

$\displaystyle 16 \cdot \int \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos(2 \theta) \, \, d \theta \\ \\ \\ 16 \cdot \bigg( \frac{1}{2} \theta + \frac{1}{4} \sin (2 \theta) \bigg) + C \\ \\ \\ 8 \theta + 4 \sin (2 \theta) + C$

Mais outra identidade:

$\sin (2 \theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$

E por fim:

$8 \theta + 4 \cdot 2 \sin \theta \cos \theta + C \\ \\ 8 \theta + 8 \sin \theta \cos \theta + C$

De acordo com a premissa:

$\displaystyle x = 4 \sin \theta \\ \\ \\ \sin \theta = \frac{x}{4} \\ \\ \\ \theta = \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{\sin} \\ \\ \\ \theta = \arcsin \bigg( \frac{x}{4} \bigg) \\ \\ \\ \theta = \arcsin \bigg( \frac{1}{4} x \bigg)$

Comparando as seguintes fórmulas e imaginando um triângulo reto:

$\displaystyle \sin \theta = \frac{x}{4} \\ \\ \\ \sin \theta = \frac{\mathsf{cateto \, \, oposto}}{\mathsf{hipotenusa}}$

Nosso triângulo tem o cateto oposto igual a x e a hipotenusa igual a 4.

Aplicaremos Pitágoras para encontrar o cateto adjacente que chamaremos de y:

$4^2 = x^2 + y^2 \\ \\ y = \sqrt{16-x^2}$

Conhecendo os valores do cateto oposto, da hipotenusa e do cateto adjacente, podemos por fim comparar com a seguinte fórmula:

$\displaystyle \cos \theta = \frac{\mathsf{cateto \, \, adjacente}}{\mathsf{hipotenusa}} \\ \\ \\ \cos \theta = \frac{\sqrt{16-x^2}}{4}$

Por fim, o resultado da integral será:

$\displaystyle 8 \theta + 8 \sin \theta \cos \theta + C \\ \\ \\ 8 \arcsin \bigg( \frac{1}{4}x \bigg) + 8 \cdot \frac{x}{4} \cdot \frac{\sqrt{16-x^2}}{4} + C \\ \\ \\ \boxed{\boxed{ 8 \arcsin \bigg( \frac{1}{4}x \bigg) + \frac{x \cdot \sqrt{16-x^2}}{2} + C }}$