Question

Calcule a integral indefinida por inspeção:

$\displaystyle\int(2x^3+x^2+4x+1)e^{x(x+1)}\,dx$

Favor detalhar bem o raciocínio utilizado para chegar ao resultado.

Answer 1

Calcular a seguinte integral por inspeção:

     $\mathsf{\displaystyle I=\int(2x^3+x^2+4x+1)e^{x(x+1)}\,dx}$


Analisando o expoente do integrando:

     $\mathsf{f(x)=x\cdot (x+1)}$

     $\mathsf{f(x)=x^2+x}$

 $\mathsf{\therefore f'(x)=2x+1}$


Manipulando a  equação de forma a tornar visível f'(x), vem:

     $\mathsf{\displaystyle I=\int(2x^3+x^2+4x+1)e^{x^2+1}\,dx}$

     $\mathsf{\displaystyle I=\int[x^2\cdot (2x+1)+2x+(2x+1)]e^{x^2+1}\,dx}$

     $\mathsf{\displaystyle I=\int[(x^2+1)\cdot (2x+1)+2x]e^{x^2+1}\,dx}$

     $\mathsf{\displaystyle I=\int[(x^2+1)\cdot f'(x)+2x]e^{f(x)}\,dx}$


Fazendo g(x) uma função tal que g(x) = x²+1 ⇒ g'(x) = 2x, vem:

     $\mathsf{\displaystyle I=\int[g(x)\cdot f'(x)+g'(x)]e^{f(x)}\,dx}$

     $\mathsf{\displaystyle I=\int[g(x)\cdot e^{f(x)}\cdot f'(x)+e^{f(x)}\cdot g'(x)]\,dx}$

     $\mathsf{\displaystyle I=\int[g(x)\cdot e^{f(x)}]'\,dx}$

     $\mathsf{\displaystyle I=g(x)\cdot e^{f(x)}+C}$

     $\mathsf{\displaystyle I=(x^2+1)\cdot e^{x^2+x}+C}$


Bons estudos! =)