Question

como resolver essa inequaçao x2+2x-3>0

Answer 1

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Resolver a inequação quadrática:

$\mathsf{x^2+2x-3>0\qquad\quad(i)}$


Vamos encontrar as raízes pela fórmula resolutiva:

$\left\{\!\begin{array}{l} \mathsf{a=1}\\\mathsf{b=2}\\\mathsf{c=-3} \end{array}\right.\\\\\\\\ \mathsf{\Delta=b^2-4ac}\\\\ \mathsf{\Delta=2^2-4\cdot 1\cdot (-3)}\\\\ \mathsf{\Delta=4+12}\\\\ \mathsf{\Delta=16}$


$\begin{array}{rcl} \mathsf{r_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}}&~\textsf{ e }~&\mathsf{r_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}\\\\ \mathsf{r_1=\dfrac{-2-\sqrt{16}}{2\cdot 1}}&~\textsf{ e }~&\mathsf{r_2=\dfrac{-2+\sqrt{16}}{2\cdot 1}}\\\\ \mathsf{r_1=\dfrac{-2-4}{2}}&~\textsf{ e }~&\mathsf{r_2=\dfrac{-2+4}{2}}\\\\ \mathsf{r_1=\dfrac{-6}{2}}&~\textsf{ e }~&\mathsf{r_2=\dfrac{2}{2}}\\\\ \mathsf{r_1=-3}&~\textsf{ e }~&\mathsf{r_2=1}\quad\longleftarrow\quad\textsf{(ra\'izes)} \end{array}$


Então, fatorando o lado esquerdo de $\mathsf{(i)},$ a inequação fica

$\mathsf{a(x-r_1)(x-r_2)>0}\\\\ \mathsf{(x-(-3))(x-1)>0}\\\\ \mathsf{(x+3)(x-1)>0}\quad\longleftarrow\quad\textsf{inequa\c{c}\~ao-produto}\qquad\mathsf{(ii)}$


Montando o quadro de sinais:

$\large\begin{array}{cc} \mathsf{x+3}&\quad\mathsf{\overset{~~----}{\textsf{------------}}\!\!\!\underset{-3}{\overset{0}{\bullet}}\!\!\!\overset{+++++++}{\textsf{---------------}}\!\!\underset{1}{\bullet}\!\!\overset{++++~~}{\textsf{------------}}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{c}\blacktriangleright \end{array}}\\\\ \mathsf{x-1}&\quad\mathsf{\overset{~~----}{\textsf{------------}}\!\!\!\underset{-3}{\bullet}\!\!\!\overset{-------}{\textsf{---------------}}\!\!\underset{1}{\overset{0}{\bullet}}\!\!\overset{++++~~}{\textsf{------------}}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{c}\blacktriangleright \end{array}}\\\\\\ \mathsf{(x+3)(x-1)}&\quad\mathsf{\overset{~~++++}{\textsf{------------}}\!\!\!\underset{-3}{\overset{0}{\bullet}}\!\!\!\overset{-------}{\textsf{---------------}}\!\!\underset{1}{\overset{0}{\bullet}}\!\!\overset{++++~~}{\textsf{------------}}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{c}\blacktriangleright \end{array}} \end{array}$


Como queremos que o produto do lado esquerdo de $\mathsf{(ii)}$ seja positivo, o intervalo de interesse é

$\mathsf{x<-3~~ou~~x>1.}$



Conjunto solução:   $\mathsf{S=\{x\in\mathbb{R}:~x<-3~~ou~~x>1\}}$


ou usando a notação de intervalos,

$\mathsf{S=\left]-\infty,\,-3\right[\,\cup\,\left]1,\,+\infty\right[.}$


Bons estudos! :-)


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