Question

Cálculo B - Integrais Múltiplas:
Esboçar a região de integração e calcular as integrais iteradas seguintes:
$\int _0^2\:\int _{-y}^y\:\left(xy^2+x\right)dxdy$

Answer 1

O esboço da região de integração segue em anexo.

A região D é descrita da seguinte forma:

$y$ varia entre dois extremos constantes:

$0\le y \le 2.$

Dado um $y$ neste intervalo, $x$ varia entre duas funções de $y$, cujos gráficos são retas no plano:

$-y\le x \le y$

ou seja, $x$ varia da reta $x=-y$ até a reta $x=y.$

Veja a figura com a região D desenhada. É um triângulo fechado com vértices nos pontos $(0,\,0),~(2,\,2)~\textsf{ e }~(-2,\,2).$

Computando as integrais iteradas (Teorema de Fubini):

$\displaystyle\int_0^2 \int_{-y}^y (xy^2+x)\,dx\,dy\\\\\\\ =\int_0^2 \int_{-y}^y (y^2+1)\cdot x\,dx\,dy\\\\\\ =\int_0^2 (y^2+1)\cdot \frac{x^2}{2}\bigg|_{x=-y}^{x=y}\,dy\\\\\\ =\int_0^2 (y^2+1)\cdot \left(\frac{y^2}{2}-\frac{(-y)^2}{2}\right)dy$

$\displaystyle=\int_0^2 (y^2+1)\cdot \left(\frac{y^2}{2}-\frac{y^2}{2}\right)dy\\\\\\ =\int_0^2 (y^2+1)\cdot 0\,dy\\\\\\ =\int_0^2 0\,dy\\\\\\ =0$

Nem foi preciso integrar na variável $y$, pois tínhamos uma função ímpar de $x$ integrada sobre um intervalo simétrico:

$-y\le x \le y$

O resultado da integral é zero.

Bons estudos! :-)