Question

Sabendo que f"(x)=24x e que f'(1)=2 e que f(1)=0; determine a lei de formação de f(x).

Answer 1

Olá


f''(x) = 24x


Para encontrar f'(x), teremos que integrar f''(x)


Integrando...


$\displaystyle\mathsf{\int 24xdx}\\\\\\\mathsf{=24\cdot\frac{x^{1+1}}{1+1} }\\\\\\\mathsf{ =\frac{24x^2}{2} }\\\\\\\mathsf{=12x^2+C}$


Para encontrarmos o valor da constante C gerada pela integral, vamos utilizar a condição dada pelo enunciado:

f'(1) = 2

Substituindo


$\mathsf{2~=~12(1)^2+C}\\\\\\\mathsf{C~=~-10}$


Substituindo 'C' na função


$\displaystyle\mathsf{f'(x)~=~12x^2-10}$



Agora para encontrar f(x), basta integrar a função f'(x) que acabamos de encontrar.


Integrando f'(x)



$\displaystyle \mathsf{\int (12x^2-10)dx}\\\\\\\mathsf{=12\cdot \frac{x^{2+1}}{2+1}~-~10x }\\\\\\\mathsf{= \frac{12x^3}{3}~-~10x }\\\\\\\mathsf{=4x^3-10x+C}$


Usando a informação dada no enunciado para encontrar o valor de C

f(1) = 0


Substituindo



$\mathsf{0~=~4(1)^3-10(1)+C}\\\\\mathsf{C~=~6}$



Substituindo o valor de 'C' na função


$\boxed{\mathsf{f(x)~=~4x^3-10x+6}}\qquad\qquad\Longleftarrow\qquad\text{Resposta}$