Question

Calcule a integral indefinida.

$\mathsf{\displaystyle\int \sqrt{4-x^2}~dx}$

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Por favor responder de forma detalhada.

Answer 1

Calcular a integral indefinida:

$\displaystyle\int\sqrt{4-x^2}\,dx\\\\\\ =\int\sqrt{2^2-x^2}\,dx$

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Para integrais de funções que envolvem expressões da forma

$\sqrt{a^2-x^2}$

onde $a$ é uma constante, $a>0,$ geralmente usa-se uma substituição trigonométrica.

Neste caso, funcionaria

$x=a\,\mathrm{sen\,}t\quad\Rightarrow\quad \left\{\!\begin{array}{l}dx=a\cos t\,dt\\\\ t=\mathrm{arcsen}\!\left(\dfrac{x}{a}\right) \end{array}\right.$

com $-\,\dfrac{\pi}{2}\le t \le \dfrac{\pi}{2}$

ou ainda esta outra substituição:

$x=a\cos t\quad\Rightarrow\quad \left\{\!\begin{array}{l}dx=-\,a\,\mathrm{sen\,}t\,dt\\\\ t=\arccos\!\left(\dfrac{x}{a}\right) \end{array}\right.$

com $0\le t \le \pi.$

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Para a integral desta tarefa, façamos a seguinte substituição:

$x=2\,\mathrm{sen\,}t\quad\Rightarrow\quad \left\{\!\begin{array}{l}dx=2\cos t\,dt\\\\ t=\mathrm{arcsen}\!\left(\dfrac{x}{2}\right) \end{array}\right.$

com $-\,\dfrac{\pi}{2}\le t \le \dfrac{\pi}{2}.$

Com isso, temos também que

$\sqrt{4-x^2}=\sqrt{2^2-x^2}\\\\ \sqrt{4-x^2}=\sqrt{2^2-(2\,\mathrm{sen\,}t)^2}\\\\ \sqrt{4-x^2}=\sqrt{2^2-2^2\,\mathrm{sen^2\,}t}\\\\ \sqrt{4-x^2}=\sqrt{2^2(1-\mathrm{sen^2\,}t)}\\\\ \sqrt{4-x^2}=\sqrt{2^2\cos^2 t}\\\\ \sqrt{4-x^2}=2\left|\cos t\right|$

Mas no intervalo considerado para $t,$ o cosseno nunca é negativo; de modo que o módulo do cosseno é igual ao próprio cosseno:

$\sqrt{4-x^2}=2\cos t$

Efetuando as substituições, a integral fica

$\displaystyle\int\sqrt{4-x^2}\,dx\\\\\\ =\int 2\cos t\cdot 2\cos t\,dt\\\\ =4\int\cos^2 t\,dt$

Use uma das formulas do cosseno do arco duplo:

$\cos^2 t=\dfrac{1}{2}\,(1+\cos 2t)$

e a integral fica

$\displaystyle 4\int\frac{1}{2}\,(1+\cos 2t)\,dt\\\\\\ =2\int (1+\cos 2t)\,dt\\\\\\ =2\int 1\,dt+2\int\cos 2t\,dt\\\\\\ =2t+2\cdot \left(\frac{1}{2}\,\mathrm{sen\,}2t\right)+C\\\\\\ =2t+\mathrm{sen\,}2t\qquad\quad\mathbf{(i)}$

Aplique a identidade do seno do arco duplo:

$\mathrm{sen}\,2t=2\,\mathrm{sen\,}t\cos t$

e a expressão $\mathbf{(i)}$ fica

$=2t+2\,\mathrm{sen\,}t\cos t\qquad\quad\mathbf{(ii)}$

Das relações de substituição, tiramos que

$\left\{\!\begin{array}{lcl}t=\mathrm{arcsen}\!\left(\dfrac{x}{2}\right)\\\\ \mathrm{sen\,}t=\dfrac{x}{2}\\\\ \sqrt{4-x^2}=2\cos t&\quad\Rightarrow\quad& \cos t=\dfrac{\sqrt{4-x^2}}{2} \end{array}\right.$

e a expressão $\mathbf{(ii)}$ fica

$=2\,\mathrm{arcsen}\!\left(\dfrac{x}{2}\right)+2\cdot \dfrac{x}{2}\cdot \dfrac{\sqrt{4-x^2}}{2}+C\\\\\\ =2\,\mathrm{arcsen}\!\left(\dfrac{x}{2}\right)+\dfrac{1}{2}\,x \sqrt{4-x^2}+C$

esta é a resposta.

Bons estudos! :-)

Answer 2

$\boxed{\boxed{\sf{\underline{Integral~da~forma}}}}\\\sf{\sqrt{a^2-u^2}}$

$\displaystyle\sf{\int\sqrt{a^2-u^2}~du=\dfrac{u}{2}\sqrt{a^2-u^2}-\dfrac{a^2}{2}arcsen\left(\dfrac{u}{a}\right)+k}$

Então

$\displaystyle\sf{\int\sqrt{4-x^2}~dx}\\\sf{=\dfrac{x}{2}\sqrt{4-x^2}-2arcsen\left(\dfrac{x}{2}\right)+k}$