Question

Como resolver a integral de ∫ dx÷sen²x ?

Answer 1

Oi Camila! apenas siga os passos:

$\displaystyle \int \frac{dx}{\sin^2 x} \\ \\ \\ \int \frac{1}{\sin^2 x} \, dx$

De acordo com a seguinte identidade trigonométrica:

$\displaystyle \csc^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$

Temos:

$\displaystyle \int \csc^2 x \, dx$

Utilizando mais outra identidade:

$\csc^2 x - \cot^2 x = 1 \\ \\ \csc^2 x = 1 + \cot^2 x$

Temos:

$\displaystyle \int 1 + \cot^2 x \, dx$

Mais outra identidade:

$\displaystyle \cot^2 x = \frac{1}{\tan^2 x}$

Daí:

$\displaystyle \int 1 + \frac{1}{\tan^2 x} \, dx \\ \\ \\ \int \frac{\tan^2 x+1}{\tan^2 x} \, dx$

Outra identidade:

$\sec^2 x - \tan^2 x = 1 \\ \\ \sec^2 x = 1 + \tan^2 x$

Então:

$\displaystyle \int \frac{\sec^2 x}{\tan^2 x} \, dx \\ \\ \\ \int \frac{1}{\tan^2 x} \cdot \sec^2 x \, dx \\ \\ \\ u = \tan x \\ \\ du = \sec^2 x \, dx \\ \\ \\ \int \frac{1}{u^2} \, du \\ \\ \\ -\frac{1}{u} + C \\ \\ \\ -\frac{1}{\tan x} + C$

Utilizando a última identidade:

$\displaystyle \cot x = \frac{1}{\tan x}$

Chegamos ao resultado final:

$\displaystyle -\cot x + C$