Question

PRECISO DETALHADAMENTE DA EXPLICAÇÃO!
um aluno (precipitado), ao calcular a integral $\int\limits^1_ {-1} \sqrt{1+ x^{2} } \, dx$ , raciocinou da seguinte forma: fazendo a mudança de variável u= 1+x², os novo extremos de integração seriam iguais a 2 (x= -1 → u=; x= 1→ u= 2) e assim a integral obtida após a mudança de variável seria igual a zero, e portanto, $\int\limits^1_ {-1} \sqrt{1+ x^{2} } \, dx$ =0. Onde está o erro?

Answer 1

Computar a integral definida

     $\displaystyle\int_{-1}^1\sqrt{1+x^2}\,dx$

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     Observações quanto ao integrando:

     A função

          $f(x)=\sqrt{1+x^2}$

     •   está definida para qualquer $x\in \mathbb{R};$

     •   é par em todo o seu domínio, isto é,

      $f(-x)=f(x),\qquad\forall~x\in\mathbb{R}$

     •   $f$ nunca é menor que 1, ou seja,

      $f(x)\ge 1,\qquad\forall~x\in\mathbb{R}.$


Dessa forma, o cálculo da integral definida será um valor garantidamente positivo, e não zero.


Observe que a substituição

    $u=1+x^2\quad\Rightarrow\quad du=2x\,dx$

não funciona, já que no integrando não aparece $x$ como fator.

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Como a função é par, e está sendo integrada sobre um intervalo simétrico, podemos escrever que

     $\displaystyle\int_{-1}^1\sqrt{1+x^2}\,dx\\\\\\ =2\int_0^1 \sqrt{1+x^2}\,dx$


Façamos uma substituição trigonométrica:

     $x=\mathrm{tg\,}t\\\\ \Rightarrow\quad\left\{\!\begin{array}{l}dx=\sec^2 t\,dt\\\\ t=\mathrm{arctg}(x)\end{array}\right.$

e para $x\in[0,\,1],$ temos $t\in\left[0,\,\dfrac{\pi}{4}\right].$


Sendo assim, a integral fica

     $\displaystyle=2\int_0^{\pi/4} \sqrt{1+\mathrm{tg^2\,}t}\cdot \sec^2 t\,dt\\\\\\ =2\int_0^{\pi/4} \sqrt{\sec^2 t}\cdot \sec^2 t\,dt\\\\\\ =2\int_0^{\pi/4} \sec t\cdot \sec^2 t\,dt\\\\\\ =2\int_0^{\pi/4} \sec^3 t\,dt\qquad\mathbf{(i)}$


Agora vamos aplicar integração por partes:

     $\begin{array}{lcl}u=\sec t&\quad\Rightarrow\quad&du=\sec t\,\mathrm{tg\,}t\,dt\\\\ dv=\sec^2 t\,dt&\quad\Leftarrow\quad&v=\mathrm{tg\,}t \end{array}$


     $\displaystyle\int u\,dv=uv-\int v\,du\\\\\\ \int_0^{\pi/4} \sec t\cdot \sec^2 t\,dt=\sec t\,\mathrm{tg\,}t\Big|_0^{\pi/4}-\int_0^{\pi/4} \mathrm{tg\,}t\cdot \sec t\,\mathrm{tg\,}t\,dt\\\\\\ \int_0^{\pi/4} \sec^3 t\,dt=\sec t\,\mathrm{tg\,}t\Big|_0^{\pi/4}-\int_0^{\pi/4} \sec t\,\mathrm{tg^2\,}t\,dt\\\\\\ \int_0^{\pi/4} \sec^3 t\,dt=\sec t\,\mathrm{tg\,}t\Big|_0^{\pi/4}-\int_0^{\pi/4} \sec t(\sec^2 t-1)\,dt\\\\\\ \int_0^{\pi/4} \sec^3 t\,dt=\sec t\,\mathrm{tg\,}t\Big|_0^{\pi/4}-\int_0^{\pi/4} (\sec^3 t-\sec t)\,dt\\\\\\ \int_0^{\pi/4} \sec^3 t\,dt=\sec t\,\mathrm{tg\,}t\Big|_0^{\pi/4}-\int_0^{\pi/4} \sec^3 t\,dt+\int_0^{\pi/4}\sec t\,dt$


Isole $\displaystyle\int_0^{\pi/4} \sec^3 t\,dt:$

     $\displaystyle 2\int_0^{\pi/4} \sec^3 t\,dt=\sec t\,\mathrm{tg\,}t\Big|_0^{\pi/4}+\int_0^{\pi/4}\sec t\,dt\\\\\\ 2\int_0^{\pi/4} \sec^3 t\,dt=\sec t\,\mathrm{tg\,}t\Big|_0^{\pi/4}+\ln|\sec t+\mathrm{tg\,}t|\Big|_0^{\pi/4}$

     $\displaystyle 2\int_0^{\pi/4} \sec^3 t\,dt=\sec \frac{\pi}{4}\,\mathrm{tg\,}\frac{\pi}{4}+\ln\left|\sec \frac{\pi}{4}+\mathrm{tg\,}\frac{\pi}{4}\right|-\left(\sec 0\,\mathrm{tg\,}0+\ln|\sec 0+\mathrm{tg\,}0|\right)\\\\\\ 2\int_0^{\pi/4} \sec^3 t\,dt=\sqrt{2}\cdot 1+\ln|\sqrt{2}+1|-\left(1\cdot 0+\ln|1+0|\right)\\\\\\ 2\int_0^{\pi/4} \sec^3 t\,dt=\sqrt{2}+\ln(\sqrt{2}+1)-(0)\\\\\\ 2\int_0^{\pi/4} \sec^3 t\,dt=\sqrt{2}+\ln(\sqrt{2}+1)$


Portanto,

     $\displaystyle\int_{-1}^1 \sqrt{1+x^2}\,dx=2\int_0^{\pi/4} \sec^3 t\, dt$

     $\boxed{\begin{array}{c}\displaystyle\int_{-1}^1 \sqrt{1+x^2}\,dx=\sqrt{2}+\ln(\sqrt{2}+1) \end{array}}$


Bons estudos! :-)