Question

Uma função f é dada por f=(x)=ax+b, em que a e b são números reais. Se f(−1) = 3 e f(8) = −15, determine o valor de f(5)+f(3)/f(1) – f(f(2)).

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Marciolopes, que a resolução é simples. Depende apenas de conhecimento sobre funções de primeiro grau e de função de função, como é o caso, por exemplo, que está sendo pedido de f[f(2)].
Mas vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) A função é do 1º grau e é da forma:

f(x) = ax + b.

ii) Se f(-1) = 3, então vamos na função dada [f(x) = ax + b] e substituiremos o "x" por "-1" e igualaremos f(x) a "3", ficando:

3 = a*(-1) + b
3 = - a + b --- ou, invertendo-se:
-a + b = 3 ---- isolando "b", teremos:
b = 3 + a     . (I)

iii) Se f(8) = - 15, então vamos na função dada [f(x) = ax + b] e substituiremos "x" por "8" e igualaremos f(x) a "-15". Assim teremos:

-15 = 8a + b ---- ou, invertendo-se:
8a + b = - 15       . (II).

iv) Agora vamos na expressão (II) acima e, no lugar de "b" colocaremos "3+a", conforme vimos na expressão (I). Vamos apenas repetir a expressão (II), que é esta:

8a + b = - 15 --- substituindo-se "b" por "3+a", teremos:
8a + 3+a = - 15 ---- reduzindo os termos semelhantes no 1º membro, temos:
9a + 3 = - 15
9a = - 15 - 3
9a = - 18
a = - 18/9
a = - 2 <--- Este é o valor do termo "a" da função f(x) = ax + b.

Para encontrar o valor do termo "b", vamos na expressão (I), que é esta:

b = 3 + a ---- substituindo-se "a" por "-2", teremos:
b = 3 - 2
b = 1 <--- Este é o valor  do termo "b" da função f(x) = ax + b.

v) Assim, a função f(x) = ax + b será esta, após substituirmos o "a" por "-2" e o "b" por "1":

f(x) = - 2x + 1 <--- Esta é a função f(x) = ax + b.

vi) Agora vamos encontrar quanto é f(5); f(3), f(1) e f[f(2)]. Assim, teremos:

vi.1) Cálculo de f(5). Para isso basta irmos na função encontrada [f(x) = -2x+1] e substituirmos o "x" por "5". Logo:

f(5) = -2*5 + 1
f(5) = - 10 + 1
f(5) = - 9 <--- Este é o valor de f(5).

vi.2) Cálculo de f(3). Utilizando o mesmo raciocínio, iremos na função [f(x) = -2x + 1] e substituiremos o "x" por "3". Logo:

f(3) = -2*3 + 1
f(3) = - 6 + 1
f(3) = - 5 <--- Este é o valor de f(3).

vi.3) Cálculo de f(1). Para isso, iremos na função [f(x) = -2x+1] e substituiremos o "x" por "1". Logo:

f(1) = -2*1 + 1
f(1) = - 2 + 1
f(1) = -1 <--- Este é o valor de f(1).

vi.4) Cálculo de f[f(2)]. Veja: primeiro calcularemos f(2). E, para isso, basta irmos na função [f(x) = - 2x+1] e substituiremos "x" por "2". Logo:

f(2) = -2*2 + 1
f(2) = -4 + 1
f(2) = - 3 <--- Este é o valor de f(2).

Ora, como f(2) = - 3 e como queremos o valor de f[f(2)], então se substituirmos f(2) por "-3" iremos procurar f(-3). Então é só ir na função [f(x) = - 2x + 1] e substituirmos "x" por "-3". Assim, teremos:

f[f(2)] = f(-3) = -2*(-3) + 1 = 6 + 1 = 7 <--- Este é o valor de f[f(2)].

vii) Agora, finalmente, vamos para a expressão pedida, que é esta (chamando essa expressão de um certo "y", apenas para deixá-la igualada a alguma coisa):

y = [f(5) + f(3)] / [f(1) - f(f(2))] ----- fazendo as devidas substituições, teremos:

y = [- 9 + (-5)] / [-1 - 7] ----- desenvolvendo,  teremos;
y = [- 9 - 5] / [- 1 - 7]
y = [- 14] / [- 8] --- ou apenas:
y = -14/-8 ---- como, na divisão, menos com menos dá mais, então temos;
y = 14/8 --- simplificando-se numerador e denominador por "2", ficamos:
y = 7/4 <--- Esta é a resposta. Ou seja, este é o resultado da expressão pedida de [f(5)+f(3)] / [f(1) - f(f(2))].

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.