Question

Sabe-se que -2 é a raiz de multiplicidade 2 da equação 2x⁴+x³-17²-16x+12=0. A soma das demais raízes dessa equação é:
a) 7
b) 7/2
c) 3
d) -7/2
e) -7

Answer 1

Olá

Como pudemos ver no enunciado, buscamos a soma das raízes diferentes de $\mathbf{-2}$ do polinômio
$\boxed{2x^{4}+x^{3} - 17x^{2} - 16x + 12=0}$

Tendo em mãos que $\mathbf{-2}$ é uma raiz de multiplicidade 2 desse polinômio, significa que

Ao usarmos o dispositivo prático de Briot-Ruffini, encontraremos um polinômio de grau menor

E por ser de multiplicidade 2, esta raiz consegue reduzir mais uma vez o grau deste polinômio

- Segue imagem do dispositivo em anexo, não é possível demonstrá-lo aqui

Agora, ao usarmos ele, encontramos o polinômio
$\boxed{2x^{3} - 3x^{2} - 11x + 6=0}$

Novamente ao usarmos o dispositivo, teremos o polinômio
$\boxed{2x^{2} - 7x + 3=0}$

Então, apliquemos a fórmula de bháskara, possibilitando-nos encontrar as raízes restantes

Temos a fórmula
$\boxed{x=\dfrac{-b\pm\sqrt[2]{\Delta}}{2\cdot a}}$

Substituamos os coeficientes, sendo eles
$\begin{cases}a = 2\\ b = -7\\ c = 3\\ \end{cases}$

Lembrando que o radical é o discriminante delta, que é definido pela expressão
$\boxed{\Delta = b^{2} - 4\cdot a \cdot c}}$

$x=\dfrac{-(-7)\pm\sqrt[2]{(-7)^{2} - 4\cdot2\cdot3}}{2\cdot2}$

Simplifique os jogos de sinais, potenciações e multiplicações

$x=\dfrac{7\pm\sqrt[2]{49 - 24}}{4}$

Por sua vez, simplifique as subtrações e o radical

$x=\dfrac{7\pm\sqrt[2]{25}}{4}\\\\\\ x =\dfrac{7\pm5}{4}$

Então, separe as raízes

$x_1=\dfrac{7-5}{4}~~~~~~x_2=\dfrac{7+5}{4}$

Simplifique as subtrações, adições e frações logo em seguida

$x_1=\dfrac{2}{4}~~~~~~x_2=\dfrac{12}{4}\\\\\\ x_1=\dfrac{1}{2}~~~~~~x_2=3$

Então, descobrimos as raízes restantes do polinômio

Como buscamos somente a soma dessas, façamos

$\dfrac{1}{2} + 3$

Como o denominador é oculto, consideramos ele como 1

$\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{1}$

Multiplique os denominadores e cruze os originais, multiplicando-os com os numeradores

$\dfrac{1\cdot 1 +3\cdot 2}{2\cdot 1}$

Simplifique as multiplicações

$\dfrac{1+6}{2}$

Some os valores

$\mathbf{\dfrac{7}{2}}~~\checkmark$

Chegamos a conclusão
Resposta correta:
Letra B

Answer 2

Olá.

Temos a expressão: 2x⁴ + x³ - 17x² - 16x + 12 = 0

Para resolver essa questão, é possível usar uma das relações de Girard para equações de 4° grau. Tem-se que a soma dos termos é igual o quociente de -b com a, usando a forma ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0.

$\mathsf{x_1+x_2+x_3+x_4=\dfrac{-b}{a}}$

Como -2 é raiz de multiplicidade 2, podemos afirmar que o -2 é o valor de duas raízes distintas. Com essas informação, usando a relação acima, podemos calcular a soma das demais raízes da equação.

$\mathsf{x_1+x_2+x_3+x_4=\dfrac{-b}{a}}\\\\\\ \mathsf{(-2)+(-2)+x_3+x_4=\dfrac{-1}{2}}\\\\\\ \mathsf{-2-2+x_3+x_4=\dfrac{-1}{2}}\\\\\\ \mathsf{-4+x_3+x_4=\dfrac{-1}{2}}\\\\\\ \mathsf{x_3+x_4=\dfrac{-1}{2}+4}\\\\\\ \mathsf{x_3+x_4=\dfrac{-1+4\cdot2}{2}}\\\\\\ \mathsf{x_3+x_4=\dfrac{-1+8}{2}}\\\\\\ \boxed{\mathsf{x_3+x_4=\dfrac{7}{2}}}$

A resposta correta está na alternativa B.

Qualquer dúvida, deixe nos comentários.
Bons estudos.