Question

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos pares (x,y) tais quea) 1 ≤ x ≤ 3 e 0 ≤ y ≤ x.

Answer 1

Observe a figura em anexo.

A região descrita pelas desigualdades

     $\left\{\!\begin{array}{l}1\le x\le 3\\\\ 0\le y\le x\end{array}\right.$

forma um trapézio fechado no plano xy, com vértices nos pontos
(1, 0),  (3, 0),  (3, 3)  e  (1, 1).


Podemos usar o método das seções transversais para calcular o volume do sólido de revolução.

Dado um $x$ qualquer no intervalo $[1,\,3],$ a área da seção transversal do sólido é dada por

     $A(x)=\pi\cdot [r(x)]^2\\\\ A(x)=\pi\cdot (x-0)^2\\\\ A(x)=\pi\cdot x^2$


Portanto, o volume do sólido pedido é

     $\displaystyle V=\int_1^3 A(x)\,dx\\\\\\ V=\int_1^3 \pi \cdot x^2\,dx\\\\\\ V=\pi \cdot \frac{x^3}{3}\bigg|_1^3\\\\\\ V=\pi \cdot \left(\frac{3^3}{3}-\frac{1^3}{3}\right)\\\\\\ V=\pi \cdot \left(\frac{27}{3}-\frac{1}{3}\right)\\\\\\ V=\pi \cdot \frac{26}{3}$

     $V=\dfrac{26\pi}{3}~\mathrm{u.v.}\quad\longleftarrow\quad\textsf{resposta.}$


Bons estudos! :-)