Question

Seja "x" um arco do 2 quadrante e sen (x)= -2 cos (x). Calcule
A) sen (x):

B) cos (x)

Answer 1

Sendo  x  um arco do 2º quadrante, e

     sen x = − 2 cos x

calcular  sen x  e  cos x.

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Tome a igualdade dada, e eleve os dois lados ao quadrado:

     $(\mathrm{sen\,}x)^2=(-2\cos x)^2\\\\ \mathrm{sen^2\,}x=4\cos^2 x$


Mas   cos² x = 1 − sen² x.   Substituindo, a igualdade acima fica

     $\mathrm{sen^2\,}x=4(1-\mathrm{sen^2\,}x)\\\\ \mathrm{sen^2\,}x=4-4\,\mathrm{sen^2\,}x\\\\ \mathrm{sen^2\,}x+4\,\mathrm{sen^2\,}x=4\\\\ 5\,\mathrm{sen^2\,}x=4\\\\ \mathrm{sen^2\,}x=\dfrac{4}{5}$


Tome as raízes quadradas dos dois lados, e obtemos

     $\mathrm{sen\,}x=\pm\,\sqrt{\dfrac{4}{5}}\\\\\\ \mathrm{sen\,}x=\pm\,\dfrac{2}{\sqrt{5}}$


Como  x  é do 2º quadrante, temos que  sen x  é positivo. Portanto,

     $\mathrm{sen\,}x=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$     ✔

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Podemos encontrar  cos x  usando a igualdade inicial:

     $\mathrm{sen\,}x=-2\cos x\\\\ \cos x=-\,\dfrac{1}{2}\,\mathrm{sen\,}x\\\\\\ \cos x=-\,\dfrac{1}{\diagup\!\!\!\! 2}\cdot \dfrac{\diagup\!\!\!\! 2}{\sqrt{5}}$

     $\cos x=-\,\dfrac{1}{\sqrt{5}}$     ✔


Bons estudos! :-)