Question

A menor frequência emitida por um intrumento é a nota Dó, de frequência
65, 3Hz.
(a) Qual é a frequência do segundo harmônico? A qual nota essa frequência corresponde?
(b) Qual é a frequência do terceiro harmônico? A qual nota essa frequência corresponde?

Answer 1

Olá!

Para melhor compreendermos o campo harmônico e a escalas musicais, necessitaremos saber as frequências de cada corda, seja ela: fundamental ou sobretons. Além disso é necessário conhecer a tabela de frequência das escalas musicais, bem como saber a velocidade do som e aplicarmos as frequências para encontrarmos também o período e comprimento da corda, para assim encontrarmos as notas que correspondem à tabela das escalas musicais, vejamos os seguintes dados encontrados:

Aplicamos a fórmula da frequência de uma onda estacionária

$\boxed{f_n = \dfrac{nV}{2L} }$

Dados:

$f_1 = 65,3\:Hz\Longleftarrow(menor\:frequ\^encia\:ou\:frequ\^encia\:fundamental)$
$f_2 = ? \:\Longleftarrow(Sobretom\:ou\:2\ºharm\^onico)$
$f_3 = ?\:\LOngleftarrow(Sobretom\:ou\:3\ºharm\^onico)$

Se: n (corda) e f1 (frequência fundamental) e V (barriga da onda)

$n = 1$
$f_1 = 65,3\:Hz$

$f_n = \dfrac{nV}{2L}$

$f_1 = \dfrac{1V}{2L}$

$65,3 = \dfrac{V}{2L}$

$V = 65,3*2L$

$\boxed{V = 130,6\:L}$

Vamos encontrar, a 2ª corda harmônica.
Dados:
V = 130,6 L
n = 2
f2 = ?

$f_n = \dfrac{nV}{2L}$

$f_2 = \dfrac{2V}{2L}$

$f_2 = \dfrac{\diagup\!\!\!\!2*130,6\:\diagup\!\!\!\!L}{\diagup\!\!\!2\diagup\!\!\!\!L}$

$\boxed{\boxed{f_2 = 130,6\:Hz}}\Longleftarrow(frequ\^encia\:do\:2\º\:harm\^onico)\end{array}}\qquad\checkmark$

Agora, vamos encontrar a 3ª corda harmônica.
Dados:
V = 130, 6 L
n = 3
f3 = ?

$f_n = \dfrac{nV}{2L}$

$f_3 = \dfrac{3V}{2L}$

$f_3 = \dfrac{3*130,6\:\diagup\!\!\!\!L}{2\diagup\!\!\!\!L}$

$f_3 = \dfrac{391,8}{2}$

$\boxed{\boxed{f_3 = 195,9\:Hz}}\Longleftarrow(frequ\^encia\:do\:3\º\:harm\^onico)\end{array}}\qquad\checkmark$

Agora, vamos descobrir qual nota esta frequência corresponde, vale ressaltar que é necessário a tabela da frequência das escalas musicais para comparar onde a nota se encaixa, quando se sabe, sua frequência, seu período e e comprimento de onda, vejamos:

Sabe-se que a velocidade do som é 344 m/s, vamos encontrar o período e a velocidade de cada frequência

obs: Sei que não precisava eu encontrar da nota Dó 1, mas mesmo assim vou identificar de cada nota

$f_1 = 65,3\:Hz$
$\tau\:(peri\´odo)= ?$
$\lambda\:(comprimento\:da\:onda) = ?$

$f_1 = \dfrac{1}{\tau}$

$65,3 = \dfrac{1}{\tau}$

$65,3\:\tau = 1$

$\tau = \dfrac{1}{65,3}$

$\boxed{\tau \approx 0,0153\:s}$

$\lambda = \dfrac{v}{f_1}$

$\lambda = \dfrac{344\:m/\diagup\!\!\!\!s}{0,0153\:\diagup\!\!\!\!s}$

$\boxed{\lambda \approx 5,26\:m}$

Obs: consultando a tabela abaixo em anexo e por aproximação, verificamos que realmente pertence a menor frequência permitida a nota Dó 1 (D1).

Agora, vamos aplicar ao segundo harmônico e identificar sua nota, vejamos:

$f_2 = 130,6\:Hz$
$\tau\:(peri\´odo)= ?$
$\lambda\:(comprimento\:da\:onda) = ?$

$f_2 = \dfrac{1}{\tau}$

$130,6 = \dfrac{1}{\tau}$

$130,6\:\tau = 1$

$\tau = \dfrac{1}{130,6}$

$\boxed{\tau \approx 0,007656\:s}$

$\lambda = \dfrac{v}{f_2}$

$\lambda = \dfrac{344\:m/\diagup\!\!\!\!s}{130,6\:\diagup\!\!\!\!s}$

$\boxed{\lambda \approx 2,63\:m}$

Obs²: consultando a tabela abaixo em anexo e por aproximação, verificamos que realmente pertence a segunda frequência o campo harmônico permitido, no caso a nota Dó 2 (D2).

Agora, vamos aplicar ao terceiro harmônico e identificar sua nota, vejamos:

$f_3 = 195,9\:Hz$
$\tau\:(peri\´odo)= ?$
$\lambda\:(comprimento\:da\:onda) = ?$

$f_3 = \dfrac{1}{\tau}$

$195,9 = \dfrac{1}{\tau}$

$195,9\:\tau = 1$

$\tau = \dfrac{1}{195,9}$

$\boxed{\tau \approx 0,00510\:s}$

$\lambda = \dfrac{v}{f_3}$

$\lambda = \dfrac{344\:m/\diagup\!\!\!\!s}{195,9\:\diagup\!\!\!\!s}$

$\boxed{\lambda \approx 1,755\:m}$

Obs³: consultando a tabela abaixo em anexo e por aproximação, verificamos que a terceira frequência no campo harmônico permitido representa a nota Sol 2 (G2).

Para melhor compreensão sobre as notas, por aproximação de valores verifique o anexo e compare as notas:
https://prnt.sc/hkujwm