Matéria: Matemática
Autor: Elevenonze466
Perguntado 8 anos atrás

qual o octogesimo termo da p.a.(4,10,...)?

Respostas

respondido por: Anônimo

qual o octogesimo termo da p.a.(4,10,...)?

R = A2 - A1
R = 10 - 4
R = 6

An = A1 + (N - 1)*R
A80 = 4 + (80 - 1)*R
A80 = 4 + 79*6
A80 = 4 + 474
A80 = 478

Resposta : A80 = 478

respondido por: viniciusszillo

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da P.A. (4, 10,...), tem-se:

a)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição:4

b)octogésimo termo (a₂₀): ?

c)número de termos (n): 80 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 80ª), equivalente ao número de termos.)

d)Embora não se saiba o valor do octogésimo termo, apenas pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos sempre crescem, afastam-se do zero, particularmente à sua direita, pensando-se na reta numérica e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação 1: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = 10 - 4 ⇒

r = 6 (Razão positiva, conforme prenunciado no item d acima.)

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o vigésimo termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₈₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₈₀ = 4 + (80 - 1) . (6) ⇒

a₈₀ = 4 + (79) . (6) ⇒ (Veja a Observação 2.)

a₈₀ = 4 + 474 ⇒

a₈₀ = 478

Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).

Resposta: O 80º termo da P.A.(4, 10,...) é 478.

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₈₀ = 478 na fórmula do termo geral da PA e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o octogésimo termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₈₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

478 = a₁ + (80 - 1) . (6) ⇒

478 = a₁ + (79) . (6) ⇒

478 = a₁ + 474 ⇒ (Passa-se 474 ao 1º membro e altera-se o sinal.)

478 - 474 = a₁ ⇒

4 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = 4 (Provado que a₈₀ = 478.)

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