• Matéria: Matemática
  • Autor: Anas
  • Perguntado 8 anos atrás

Uma queimadura na pele de uma pessoa tem a forma de um círculo. Se o raio da queimadura está decrescendo a uma taxa de 0, 05 cm por dia quando ele é 1 cm, qual a taxa de decréscimo da área da queimadura nesse instante

Respostas

respondido por: sammuel22xp16gib
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Well, vamos por parte:
Ao ler o enunciado temos que os dados apresentados foram:

1) O raio decresce a uma velocidade de 0,5 cm/dia, ou seja,  \frac{dx}{dt} = 0,05  \frac{cm}{dia} (Derivada do raio em relação ao tempo é igual a 0,05 cm/dia);

2) O valor do raio no instante  que nos desejamos calcular é: r= 1 cm;

O que foi pedido: 
 1) A taxa de variação da área do circulo em relação ao tempo, ou seja:  \frac{dr}{dt} ;

Então, com esses dados podemos resolver o exercicio: 
Sabemos que o calculo para a area de um circulo é dado por:
Ac= \pi r^{2}  

O que devemos fazer para achar a velocidade de redução da area do circulo? Devemos derivar ambos os lados dessa formula, logo:
 \frac{dAc}{dt}=  \frac{d \pi }{dt}  \frac{d r^{2} }{dt}  ;

Como  \pi é uma constante, sua derivada é ele mesmo, logo:
\frac{dAc}{dt}=  \pi \frac{d r^{2} }{dt} ;

como o raio r está sendo derivado em relaçao ao tempo, ele é uma derivada implicita (Senão, ele teria de estar sendo derivado em relação a ele mesmo), logo, pela regra da cadeia temos:
l(x)=f(g(x))  ⇒  \frac{dl(x)}{d(x)} =  \frac{df(g(x))}{dx} ; logo:
 \frac{dl(x)}{dx} =  \frac{df(g(x))}{dx}     ×  \frac{dg(x)}{dx} ;
Então, aplicando a regra da cadeia na equação: \frac{dAc}{dt}= \pi \frac{d r^{2} }{dt} obtemos:
\frac{dAc}{dt}= \pi {dt} \frac{d r }{dt} ×2 \pi r;

Substituindo os valores que temos, no instante em que r=1 cm:
1) \frac{dr}{dt} = -0,05 \frac{cm}{dia} ;
obtemos:
\frac{dAc}{dt}= 2 \pi ×1×(-0,05)
logo:

\frac{dAc}{dt}= -0,1 \pi [tex] \frac{ cm^{2} }{dia} [/tex]



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