Question

Prove que não existe um número real não nulo tal que a soma dele com o seu inverso seja 1.

Answer 1

Olá!

De acordo com o enunciado,

$\mathsf{\nexists n \in \mathbb{R}^{\ast}; n + \frac{1}{n} = 1}$


 Isto posto, suponha por absurdo, que exista sim um número real não nulo que satisfaça à condição acima. Vamos "chamá-lo" de 'n' mesmo. Então, é verdade que a soma de 'n' com seu inverso resulta em 1!

 Assim, segue que,

$\\ \displaystyle \mathsf{n + \frac{1}{n} = 1} \\\\ \mathsf{n^2 + 1 = n} \\\\ \mathsf{n^2 - n + 1 = 0} \\\\ \mathsf{\Delta = 1 - 4 = - 3} \\\\ \mathsf{n = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2}}$

 Entretanto, como bem sabemos, no conjunto dos reais não temos como extrair raiz quadrada. Desse modo, estamos diante de uma CONTRADIÇÃO.

Como queríamos demonstrar.