Question

Calcule a integral indefinida por inspeção:

$\displaystyle\int(\sec^3 x+\sec^2 x-\sec x)e^{\sec x}\,dx$

Answer 1

É dada a seguinte integral indefinida:

$\displaystyle I=\int (\sec^3(x)+\sec^2(x)-\sec(x))e^{\sec(x)}\,dx$

Vamos desenvolver primeiro fator do integrando:

$\sec^3(x)+\sec^2(x)-\sec(x)=\sec(x)(\sec^2(x)+\sec(x)-1)$

Como $\sec^2(x)=\tan^2(x)+1\Longrightarrow \tan^2(x)=\sec^2(x)-1$:

$\sec^3(x)+\sec^2(x)-\sec(x)=\sec(x)(\tan^2(x)+\sec(x))$

Então, temos que:

$\displaystyle I=\int \sec(x)(\tan^2(x)+\sec(x)) e^{\sec(x)}\,dx\\\\ I=\int (\sec(x)\tan^2(x)e^{\sec(x)}}+\sec^2(x) e^{\sec(x)})\,dx$

Para visualizarmos melhor o que se encontra agora no integrando, vamos renomear uma das funções. Seja $f(x)=e^{\sec(x)}\Longrightarrow f'(x)=\sec(x)\tan(x)e^{\sec(x)}$. Substituindo em $I$:

$\displaystyle I=\int (\sec(x)\tan^2(x)e^{\sec(x)}}+\sec^2(x) e^{\sec(x)})\,dx\\\\ I=\int (\tan(x)\cdot\sec(x)\tan(x)e^{\sec(x)}}+\sec^2(x) e^{\sec(x)})\,dx\\\\ I=\int (\tan(x)\cdot f'(x)+\sec^2(x) f(x))\,dx\\\\ I=\int [f(x)\cdot\tan(x)]'\,dx\\\\ I=f(x)\cdot\tan(x)+C\\\\ I=e^{\sec(x)}\tan(x)+C$

Portanto:

$\boxed{\displaystyle \int (\sec^3(x)+\sec^2(x)+\sec(x))e^{\sec(x)}\,dx=e^{\sec(x)}\tan(x)+C}$