Question

Uma indústria automotiva apresenta uma função receita R(x), em milhares de R$, e uma função custo C(x), em milhares de R$, como funções de x, a quantidade de veículos de luxo de um dado modelo fabricados e vendidos. Determine, apresentando a memória de cálculo (passo a passo), a quantidade de veículos de luxo (x), desse modelo, que maximize o lucro da empresa e calcule o valor do lucro.

R(X) : -0,3x² + 120x

C(x) : 0,3x³ - 3x​² - 4x +100

Answer 1

Vamos juntar as duas equações. Mas antes, vamos entender uma coisa: como C(x) é um valor de custo, ao juntar as duas equações devemos fazer -C(X) pois é um valor perdido, assim:

$T(X)= -0,3x^2+120x-(0,3x^3 - 3x^2 - 4x +100)\\ T(X)=-0,3x^3+2,7x^2+124x-100$

Agora, vamos derivar a função para encontrar um valor de máximo da mesma:

$\frac{dT}{dx} =(-0,3x^3+2,7x^2+124x-100)'=-0,9x^2+5,4x+124$

Realizando pelo método de Bhaskara, nós podemos ver que os valores das raízes são 

$x_1=-9,11519 x_2=15,1152$

como não é possível produzir um número negativo de carro e nem carros fracionados, o maior valor que pode ser produzido é de 15 carros

Para calcular o valor basta substituir o valor de x por 15

$T(15)-0,3(15)^3+2,7(15)^2+124(15)-100=1197,5$