Question

toda vez que as equações do sistema derem zero assim, as incógnitas vão ser zero?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, IsaRicardo, que um sistema homogêneo (que é quando todas as equações do sistema são iguais a zero, como é o caso do sistema da sua questão) será SEMPRE possível.
Agora dentro desse "possível" um sistema homogêneo será determinado ou indeterminado. Só há essas duas hipóteses para sistemas homogêneos, ou seja: será possível e determinado (SPD) ou possível e indeterminado (SPI).
Aí você poderá perguntar: e como saberei quando ele é SPD e é SPI ?
Resposta: isso vai depender do determinante dos coeficientes das incógnitas das equações que formam o sistema.
Então veja:

i) Se num sistema homogêneo, o determinante das incógnitas for DIFERENTE de zero, então o sistema será SPD (possível e determinado). E assim, todas as incógnitas serão iguais a zero, que chamamos de solução trivial, ou seja: x = 0; y = 0 e z = 0)

ii) Se num sistema homogêneo, o determinante das incógnitas for IGUAL a zero, então o sistema será SPI (possível e indeterminado). E, assim, o sistema terá, além da solução trivial (x = 0; y = 0 e z = 0), infinitas outras respostas.

iii) Então vamos encontrar o determinante dos coeficientes das incógnitas do sistema da sua questão, para sabermos se ele é determinado ou indeterminado. O sistema da sua questão é este:

{2x + 3y + 4z = 0
{5x + 6y + 7z = 0
{7x + 9y - z = 0

Vamos formar a matriz dos coeficientes e depois vamos calcular o seu determinante. Assim, teremos, já colocando a matriz em forma de desenvolvê-la (regra de Sarrus):

|2....3....4|2....3|
|5....6....7|5....6| ---- desenvolvendo pra encontrar o determinante (d):
|7....9...-1|7....9|


d = 2*6*(-1)+3*7*7+4*5*9 - [7*6*4+9*7*2+(-1)*5*3]
d = - 12 + 147 + 180 - [168 + 126 - 15]
d = 315 - [279] --- retirando-se os colchetes, teremos:
d = 315 - 279
d = 36 <--- Este é o valor do determinante dos coeficientes das incógnitas. Como deu DIFERENTE de zero, então o sistema dado é SPD (sistema possível e determinado) e, assim,  terá apenas a solução trivial (x = 0; y = 0; e z = 0).

Note: se o determinante tivesse dado igual a zero, então o sistema seria SPI (sistema possível e indeterminado) e, assim, teria, além da solução trivial (x = 0; y = 0; z = 0), infinitas outras soluções.

Mas, como vimos que o determinante dos coeficientes das incógnitas deu diferente de zero, então o sistema da sua questão será SPD (sistema possível e determinado) e terá apenas a solução trivial (x = 0; y = 0 e z = 0).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.