Question

Em um certo concurso, o candidato deve realizar uma prova objetiva composta de 60 questões, cada uma com 5 alternativas, das quais apenas uma é correta.Para ser classificado com um aproveitamento mínimo, ele deve acertar, ao menos, 25 % das questões.Qual a probabilidade de um candidato, ao assinalar aleatoriamente as respostas da prova, ser classificado no concurso exatamente com o aproveitamento mínimo ?

Answer 1

$P_{(n)}^{(r_x)} \ = \ \dfrac{n!}{r_x!} \ \rightarrow \\ \\ \\ P_{(n)}^{(r_x)} \ \rightarrow \ Permuta\c{c}\~ao \ de \ n \ elementos \ com \ r_x \ repeti\c{c}\~oes.$

$Comecemos \ pelo \ mais \ simples \ : \\ \\ 25\% \ \rightarrow \ \dfrac{25}{100} \ \rightarrow \ \dfrac{1}{4} \\ \\ \\ 25\% \ de \ acertos \ dentre \ 60 \ quest\~oes \ (exatamente) \ : \\ \\ \dfrac{1}{4} \ \underbrace{\cdot}_{de} \ 60 \ = \ \boxed{15 \ quest\~oes}$

$O \ candidato \ tem \ que \ acertar \ 15 \ e \ errar \ (60 \ - \ 15) \ = \ 45 \ quest\~oes.$

$Como \ apenas \ 1 \ de \ 5 \ alternativas \ \'e \ a \ certa, \ a \ chance \\ de \ assinal\'a-la \ \'e \ de \ \dfrac{1}{5}, \ enquanto \ que \ a \ chance \\ de \ errar \ \'e \ de \ \Big(1 \ - \ \dfrac{1}{5}\Big) \ = \ \dfrac{4}{5}.$

$O \ candidato \ tem \ \dfrac{1}{5} \ de \ chance \ para \ cada \ uma \ das \ 15 \\ que \ ele \ tem \ que \ acertar, \ e \ \dfrac{4}{5} \ para \ cada \ uma \ das \ 45 \\ que \ ele \ tem \ que \ errar, \ ou \ seja \ : \\ \\ \\ \underbrace{\dfrac{1}{5} \ \cdot \ \dfrac{1}{5} \ \cdot \ \dots \ \dfrac{1}{5} \ \cdot \ \dfrac{1}{5}}_{15 \ vezes} \ \underbrace{\cdot}_{e} \ \underbrace{\dfrac{4}{5} \ \cdot \ \dfrac{4}{5} \ \cdot \ \dots \ \dfrac{4}{5} \ \cdot \ \dfrac{4}{5}}_{45 \ vezes} \ \rightarrow$

$\Big(\dfrac{1}{5}\Big)^{15} \ \cdot \ \Big(\dfrac{4}{5}\Big)^{45} \ \rightarrow \\ \\ \\ \dfrac{4^{45}}{5^{^{15}} \ \cdot \ 5^{^{45}}} \ \rightarrow \\ \\ \\ \boxed{\dfrac{4^{^{45}}}{5^{^{60}}}}$

$S\'o \ que \ ainda \ falta \ considerarmos \ os \ padr\~oes \ de \ acertos \ e \ erros \ que \\ o \ candidato \ pode \ fazer \ na \ prova\dots \\ \\ Vamos \ dizer \ acertos \ s\~ao \ bolas \ verdes \ e \ vermelho \ vermelhas. \\ \\ Temos \ 15 \ quest\~oes \ que \ o \ candidato \ marcou \ certo \ (bolinha \ verde) \\ e \ 45 \ que \ ele \ marcou \ errado \ (bolinha \ vermelha). \\ \\ Vamos \ permutar \ essas \ (15 \ + \ 45) \ = \ 60 \ bolinhas \ juntas, \ sabendo \ :$

$\bullet Que \ n \ = \ 60 \ bolinhas \ s\~ao \ os \ nossos \ elementos; \\ \\ \circ Que \ existem \ r_1 \ = \ 15 \ repeti\c{c}\~oes} \ de \ verde \ e \ r_2 \ = \ 45 \ de \ vermelhas; \\ \\ \bullet Que, \ como \ dito, \ vermelha \ \rightarrow \ erro \ e \ verde \ \rightarrow \ acerto : \\ \\ \\ \dfrac{n!}{\underbrace{r_1 \ \cdot \ r_2}_{total \ de \ repeti\c{c}\~oes \ = \ r_x}} \ \rightarrow \\ \\ \\ \boxed{\dfrac{60!}{15! \ \cdot \ 45!}} \ \Rrightarrow \ N\'umero \ de \ padr\~oes \ poss\'iveis!$

$Por \ fim, \ juntamos \ as \ probabilidades \ puras \ (sem \ contar \ as \\ ordena\c{c}\~oes \ presentes \ entre \ os \ elementos) \ e \ as \ permuta\c{c}\~oes \\ puras \ (que \ n\~ao \ contam \ as \ probabilidades \ puras \ dos \ elementos) \\ para \ compormos \ a \ probabilidade \ total \ (p) \ : \\ \\ \\ \underbrace{\dfrac{4^{^{45}}}{5^{^{60}}}}_{probabilidades \ puras} \ \underbrace{\cdot}_{'juntando'} \ \underbrace{\dfrac{60!}{15! \ \cdot \ 45!}}_{ordena\c{c}\~oes \ poss\'iveis}} \ =$

$\boxed{\boxed{\dfrac{4^{^{45}} \ \cdot \ 60!}{5^{^{60}} \ \cdot \ 15! \ \cdot \ 45!}}} \ \Rrightarrow \ Probabilidade \ de \ extamanete \ 25\% \ de \ acerto!$

Answer 2

-CORRIGIDA NO AVA-

60+5 / 25%=  65/25%  e  5/25%

5/25% / 65/25% =

5/65 =

0;076...x 100 =

7;6%

R=7;6%