Question

Usando apenas manipulações usuais com as identidades trigonométricas, calcule de forma analítica, isto é, sem recursos de Geometria, o valor exato de:

a) sen 18°

b) cos 36°

Answer 1

Temos as seguintes propriedades de seno e cosseno:

$\mathsf{\bullet\,\,sen\,(\alpha+\beta)=sen\,\alpha\,cos\,\beta+sen\,\beta\,cos\,\alpha}\\\\\mathsf{\bullet\,\,cos\,(\alpha+\beta)=cos\,\alpha\,cos\,\beta-sen\,\alpha\,sen\,\beta}$

Dessas, concluímos que

$\mathsf{\bullet\,\,sen\,(2x)=2\,sen\,x\,cos\,x}\\\\\mathsf{\bullet\,\,cos\,(2x)=cos^{2}x-sen^{2}x=[1-sen^{2}x]-sen^{2}x=1-2sen^{2}x}$

e que

$\mathsf{\bullet\,\,cos\,\alpha=sen\,(90\º-\alpha)}$
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Note que $\mathsf{x=18\º\,\,\Leftrightarrow\,\,2x=36\º\,\,\Leftrightarrow\,\,3x=54\º}$

Além disso, $\mathsf{36\º+54\º=90\º}$, portanto estes são ângulos complementares. Daí, pela propriedade citada:

$\mathsf{cos\,54\º=sen\,36\º}\\\\\mathsf{cos\,(2\cdot18\º+18\º)=sen\,(2\cdot18\º)}\\\\\mathsf{cos\,(2\cdot18\º)\,cos\,18\º-sen\,(2\cdot18\º)\,sen\,18\º=2\,sen\,18\º\,cos\,18\º}\\\\\mathsf{[1-2sen^{2}18\º]\,cos\,18\º-[2\,sen\,18\º\,cos\,18\º]\,sen\,18\º=2\,sen\,18\º\,cos\,18\º}\\\\\mathsf{cos\,18\º-4sen^{2}18\º\,cos\,18\º=2\,sen\,18\º\,cos\,18\º}$

Podemos dividir os dois lados da igualdade por $\mathsf{cos\,18\º}$, já que $\mathsf{cos\,18\º\neq0}$, pois $\mathsf{f(x)=cos\,x}$ é injetiva em $\mathsf{[0,90\º]}$, logo $\mathsf{f(x)=0\,\,\Rightarrow\,\,x=90\º\neq18\º}$

Com isso, ficamos com

$\mathsf{1-4\,sen^{2}18\º=2\,sen\,18\º}\\\\\mathsf{-4\,sen^{2}18\,-2\,sen\,18\º+1=0}$

Fazendo $\mathsf{y=sen\,18\º\,\textgreater\,0}$, podemos enxergar essa igualdade como uma equação do segundo grau em $\mathsf{y}$

$\mathsf{-4y^{2}-2y+1=0\,\,\Leftrightarrow\,\,4y^{2}+2y-1=0}$

As soluções dessa equação são dadas por

$\mathsf{y=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\dfrac{-2\pm\sqrt{2^{2}-4\times4\times(-1)}}{2\cdot4}=\dfrac{-2\pm\sqrt{20}}{8}}$

Como $\mathsf{\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot5}=\sqrt{4}\sqrt{5}=2\sqrt{5}}$,

$\mathsf{y=\dfrac{-2\pm2\sqrt{5}}{8}=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{4}=\begin{cases}\mathsf{y_{1}=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{4}}\\\\\mathsf{y_{2}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}}\end{cases}}$

Porém, $\mathsf{sen\,18\º\neq y_{1}}$, pois $\mathsf{y_{1}\,\textless\,0}$. Logo

$\boxed{\boxed{\mathsf{\mathsf{sen\,18\º=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}}}}}$

que é um número positivo, já que $\mathsf{\sqrt{5}\,\textgreater\,\sqrt{1}=1}$
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Podemos encontrar o cosseno de 18º de modo fácil utilizando a identidade

$\mathsf{cos\,(2x)=1-2sen^{2}x}\\\\\mathsf{cos\,(2\cdot18\º)=1-2sen^{2}18\º}\\\\\mathsf{cos\,36\º=1-2sen^{2}18\º}$

Usando o resultado acima, tem-se que

$\mathsf{cos\,36\º=1-2\Bigg(\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}\Bigg)^{2}}\\\\\\\mathsf{cos\,36\º=1-\dfrac{2(\sqrt{5}-1)^{2}}{4^{2}}}\\\\\\\mathsf{cos\,36\º=1-\dfrac{5-2\sqrt{5}+1}{8}}\\\\\\\mathsf{cos\,36\º=1-\dfrac{6-2\sqrt{5}}{8}}\\\\\\\mathsf{cos\,36\º=1-\dfrac{3-\sqrt{5}}{4}}\\\\\\\mathsf{cos\,36\º=\dfrac{4-(3-\sqrt{5})}{4}}\\\\\\\boxed{\boxed{\mathsf{cos\,36\º=\dfrac{\sqrt{5}+1}{4}}}}$