Question

Resolva a equação trigonométrica, sendo U = [0, π]:

$4\sec^2 x-2\sec^2(\frac{x}{2})\sec^2 x+11\sec^2(\frac{x}{2})-20=0$

Answer 1

Resolver a seguinte equação trigonométrica:

     $\mathsf{4sec^2 x-2sec^2(\frac{x}{2})sec^2 x+11sec^2(\frac{x}{2})-20=0}$


Identidades trigonométricas usadas:

     • $\mathsf{sec^2x=\dfrac{1}{cos^2x}}$

     • $\mathsf{cos^2(\frac{x}{2})=\dfrac{cos\ x\ +1}{2}}$

__________


Sabendo que primeira identidade trigonométrica, vem:

     $\mathsf{\dfrac{4}{cos^2x}-\dfrac{2}{cos^2x\cdot cos^2(\frac{x}{2})}+\dfrac{11}{cos^2(\frac{x}{2})}-20=0}$

     $\mathsf{4\ cos^2(\frac{x}{2})-2+11\ cos^2x-20\ cos^2x\ cos^2(\frac{x}{2})=0}$


Levando em consideração a segunda identidade trigonométrica, vem:

     $\mathsf{4\ cos^2(\frac{x}{2})-2+11\ cos^2x-20\ cos^2x\ cos^2(\frac{x}{2})=0}$

     $\mathsf{4\cdot \dfrac{cos\ x\ +1}{2}-2+11\ cos^2x-20\ cos^2x\cdot \dfrac{cos\ x\ +1}{2}=0}$

     $\mathsf{2cos\ x\ +\diagup\!\!\!\!2-\diagup\!\!\!\!2+11\ cos^2x-10cos^3x-10cos^2x=0}$

     $\mathsf{-10cos^3x+cos^2x+2cos\ x=0}$


Fazendo cos x = y, vem:

     $\mathsf{-10y^3+y^2+2y=0}$

     $\mathsf{y\cdot (-10y^2+y+2)=0}$


Uma das raízes é igual a zero, as outras se encontram na equação de segundo grau, podemos encontra-las através da fórmula de Bháskara

     $\left.\begin{matrix} \begin{array}{l} \mathsf{\Delta=b^2-4ac}\\\\ \mathsf{\Delta=1^2-4\cdot (-10)\cdot 2}\\\\ \mathsf{\Delta=1+80}\\\\ \mathsf{\Delta=81} \end{array} \end{matrix}\right|\begin{matrix} \begin{array}{l} \mathsf{y=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}}\\\\ \mathsf{y=\dfrac{-1\pm \sqrt{81}}{2(-10)}}\\\\ \mathsf{y=\dfrac{1\mp 9}{20}} \end{array} \end{matrix}$

     $\mathsf{y'=0\qquad y''=\dfrac{1}{2}\qquad y'''=-\dfrac{2}{5}}$

Agora basta substituirmos y novamente por cos x:

• Primeiro valor

     $\mathsf{y=0}$

     $\mathsf{cos\ x=0}$

     $\mathsf{x=\dfrac{\pi}{2}\ rad\qquad \diagup\!\!\!\!\!\diagdown}$

Repare que y não pode assumir esse valor pois se o cosseno for nulo o valor de sec x será indeterminado.


• Segundo valor

     $\mathsf{y=\dfrac{1}{2}}$

     $\mathsf{cos\ x=\dfrac{1}{2}}$

     $\mathsf{x=\dfrac{\pi}{3}\ rad \qquad\checkmark}$


• Terceiro valor

     $\mathsf{y=-\dfrac{2}{5}}$

     $\mathsf{cos\ x=-\dfrac{2}{5}}$

     $\mathsf{x=arc\ cos\left(-\dfrac{2}{5}\right)\qquad\checkmark}$


$\mathsf{S=\left\{\dfrac{\pi}{3},arc\ cos \left(-\dfrac{2}{5}\right)\right\}}$


Bons estudos! =)