Question

O logaritmo de certo numero em determinada base é igual a 4 e o logaritmo desse mesmo numero com base igual ao triplo do anterior é igual a 2, qual é esse numero?

Answer 1

Vamos lá
LogD (N) -----> log de N na base D
LogD (N) = 4 -----> D⁴= N
Log3D (N) = 2 -----> (3D) ² = N
Igualando: D⁴ = 9D ²-----> D⁴ - 9D ² =0
A=D ² (Adotei)
A² - 9A=0 -----> A(A-9)=0
Então: A=0 ou A-9=0 -----> A=9
Mas A=D ² , então:
D² = 0 ou D² = 9 -----> D= 3 ou -3
Mas D é a base do log e sua condição de existência é D>0 e D≠ 1,
Então D=3
D⁴ = N -----> 3⁴ = N -----> N=81
✌

Answer 2

   O logaritmo de um certo número em determinada base é igual a 4 significa:

   $log_{b}x=4$

   Sendo x o certo número e b a determinada base.

   O logaritmo DESSE MESMO NÚMERO com base igual ao TRIPLO DO ANTERIOR é igual a 2. Matematicamente fica:

   $log_{3b}x = 2$

   Pela definição de logaritmo temos:

   $log_{b}a=y$ ⇔ $b^{y}=a$

   Com isso em mente faz-se:

   1ª) - 

        $log_{b}x=4$ ⇔ $b^{4}=x$

   2ª) - 

       $log_{3b}x=2$ ⇔ $(3b)^{2}=x$

   Como x é o mesmo para ambos:

   $b^{4}=(3b)^{2}\\ \\b^{4}=9b^{2}\\ \\b^{4}-9b^{2}=0\\ \\(b^{2})^{2}-9b^{2}=0$

   Adotando-se $b^{2} = t$ temos:

   $t^{2}-9t=0\\ \\t.(t-9)=0$

   Daí saem duas possibilidades:

   $t = 0$

   ou

   $t-9 = 0\\ \\ t = 9$

   Como foi adotado $t = b^{2}$ faz-se para as duas possibilidades:

   $0=b^{2}\\ \\b=0$

   e

   $9=b^{2}\\ \\b=\sqrt{9}\\ \\b=3\\ \\b=-3$

   Pela condição de existência de log temos:

   $log_{b}a=x\\ \\b>0, b\neq 1\\ \\a>0$
  
   Assim, desconsidera-se do cálculo $b = 0$ e $b= -3$. Utiliza-se apenas $b = 3$.

   Sabe-se que $x = 9b^{2}$, logo:

   $x = 9.3^{2}\\ \\x = 9.9=81$

   Espero que tenha entendido.