Question

Determine o conjunto solução da equação log₁₂ (x² - x) = 1

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Theualves, que a resolução é simples. Tem-se a seguinte expressão logarítmica:

log₁₂ (x² - x) = 1

Agora vamos tentar fazer, como sempre costumamos proceder nas nossas respostas, tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Primeiro vamos encontrar quais são as condições de existência. Lembre-se que só existem logaritmos de números positivos. Então deveremos impor que o logaritmando (x²-x) deverá ser maior do que zero. Então vamos impor que:

x² - x > 0 .

Note que o que faz uma equação ser igual a zero são as suas raízes (lembre-se que toda raiz zera a equação da qual ela é raiz). Então vamos encontrar quais são as raízes de"x² -x". E para isso, vamos igualá-la a zero. Logo:

x² - x = 0 ---- para facilitar encontrar suas raízes, então vamos colocar "x" em evidência, com o que ficaremos assim:

x*(x - 1) = 0 ---- note que aqui temos dois fatores cujo produto é nulo.Quando isso ocorre , um dos fatores é nulo. Então teremos as seguintes possibilidades:

ou
x = 0 ---> x' = 0

ou
x-1 = 0 ---> x'' = 1.

ii) Assim, como vimos aí em cima os valores que fazem a equação zerar são x = 0 ou x = 1.

Então vamos estudar a variação de sinais da equação dada, para vermos onde a equação é zero, onde ela é negativa e onde é positiva, pois só vão valer aqueles valores que façam com que: x² - x > 0. Assim, teremos:

x² - x > 0... + + + + + + + +(0) - - - - - - - - - (1) + + + + + + + + + + + +

Assim, como vemos pelo gráfico acima, a função logarítmica dada só poderá assumir valores que sejam: ou menores do que zero, ou que sejam maiores do que "1".

iii) Agora, como já temos as condições de existência, então vamos encontrar o valor de "x" na expressão originalmente dada, que é esta:

log₁₂ (x² - x) = 1 ---- note que se aplicarmos a definição de logaritmo, iremos ter que:

12¹ = x² - x --- ou apenas:
12 = x² - x ----- passando "12" para o 2º membro, teremos:
0 = x² - x - 12 --- ou, invertendo-se, o que é a mesma coisa, temos:
x² - x - 12 = 0 ----- se você aplicar Bháskara vai encontrar que as raízes serão estas:

x' = -3
x'' = 4

Note que ambos os valores que acima encontramos estão satisfazendo às condições de existência.

iv) Assim, resumindo, temos que o conjunto-solução  será este:

x = -3 ou x = 4 <--- Esta é a resposta.

Se você quiser, também poderá apresentar o conjunto-solução {x'; x''} da seguinte forma, o que dá no mesmo.

S = {-3; 4}.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.