Question

Definimos a função cosseno hiperbólico de x da seguinte forma:

$\begin{array}{rccl} \cosh:&\mathbb{R_+}&\to&[1,\,+\infty)\\\\ &x&\mapsto&\dfrac{e^x+e^{-x}}{2} \end{array}$


Mostre que a função acima é bijetiva e deduza uma lei para a função inversa, em termos de logaritmo.

Favor justificar os passos e o raciocínio. Obrigado.

Answer 1

Para provarmos que a função é bijetiva, vamos provar, separadamente, que ela é injetiva e sobrejetiva. Provando que ela é:

→ Injetiva:

Uma função é dita injetiva se, para quaisquer dois elementos $x_1$ e $x_2$ do domínio, vale a relação:

$x_1\neq x_2\iff f(x_1)\neq f(x_2)$

Isto é, elementos diferentes do domínio possuem imagens diferentes. Então, vamos supor por absurdo que existem elementos $x_1\neq x_2$ tais que $\cosh(x_1)=\cosh(x_2)$. Vamos supor também, sem perda de generalidade, que $x_2>x_1$:

$\cosh(x_1)=\cosh(x_2)\\\\ \dfrac{e^{x_1}+e^{-x_1}}{2}=\dfrac{e^{x_2}+e^{-x_2}}{2}\\\\ e^{x_1}+e^{-x_1}=e^{x_2}+e^{-x_2}\\\\ e^{x_1+x_2}\cdot (e^{x_1}+e^{-x_1})=e^{x_1+x_2}\cdot(e^{x_2}+e^{-x_2})\\\\ e^{2x_1+x_2}+e^{x_2}=e^{x_1+2x_2}+e^{x_1}\\\\ e^{2x_2+x_1}-e^{x_2+2x_1}=e^{x_2}-e^{x_1}\\\\ e^{x_1+x_2}\cdot(e^{x_2}-e^{x_1})=e^{x_2}-e^{x_1}\\\\\left</span>(e^{x_2}-e^{x_1}\right)\cdot(e^{x_1+x_2}-1)=0$

Então $e^{x_2}-e^{x_1}=0$ ou $e^{x_1+x_2}=1$:

- Se $e^{x_2}-e^{x_1}=0$:

$e^{x_1}=e^{x_2}\\\\ x_1=x_2\Longrightarrow \text{Absurdo!}$

-  Se $e^{x_1+x_2}=1$:

$e^{x_1+x_2}=e^{0}\\\\ x_1+x_2=0\\\\ x_1=-x_2$

Mas: $x_1,x_2\in\mathbb{R}_+$. Então:

$x_1=x_2=0\Longrightarrow \text{Absurdo!}$

O que demonstra que a função é injetiva.

→ Sobrejetiva:

Sabe-se que a função exponencial é contínua. Como a lei de formação de $\cosh(x)$ é uma combinação linear de duas exponenciais, $\cosh(x)$ também é contínua. Agora, vamos analisar os valores da função nas bordas do intervalo do domínio:

- Limite à esquerda:

$\lim_{x\to0^{+}}\cosh(x)=\lim_{x\to0^{+}}\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}\\\\ \lim_{x\to0^{+}}\cosh(x)=\dfrac{e^{0}+e^{-0}}{2}\\\\ \lim_{x\to0^{+}}\cosh(x)=\dfrac{1+1}{2}\\\\ \lim_{x\to0^{+}}\cosh(x)=1$

- Limite à direita:

$\lim_{x\to\infty}\cosh(x)=\lim_{x\to\infty}\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}\\\\ \lim_{x\to\infty}\cosh(x)=\infty$

Vamos provar agora que a função é estritamente crescente para $x\in\mathbb{R}_+$. Tomemos $x_2>x_1$. Suponha, por absurdo que possamos ter $\cosh(x_1)>\cosh(x_2)$. Desenvolvendo a desigualdade:

$\cosh(x_1)\ge \cosh(x_2)\\\\ \dfrac{e^{x_1}+e^{-x_1}}{2}\ge \dfrac{e^{x_2}+e^{-x_2}}{2}\\\\ e^{x_1}+e^{-x_1} \ge e^{x_2}+e^{-x_2}\\\\ e^{x_1+x_2}\cdot(e^{x_1}+e^{-x_1})\ge e^{x_1+x_2}\cdot (e^{x_2}+e^{-x_2})\\\\ e^{2x_1+x_2}+e^{x_2}\ge e^{x_1+2x_2}+e^{x_1}\\\\ e^{2x_1+x_2}- e^{x_1}\ge e^{x_1+2x_2}-e^{x_2}\\\\ e^{x_1}(e^{x_1+x_2}- 1)\ge e^{x_2}(e^{x_1+2x_2}-1)$

Como $x_1$ e $x_2$ são não negativos e $x_2>x_1$, temos que $e^{x_1+x_2}-1>0$. Assim, podemos dividir os dois lados da desigualdade por esse fator sem alterar o sinal, obtendo:

$e^{x_1}\ge e^{x_2}\\\\ x_1\ge x_2\Longrightarrow \text{Absurdo!}$

Portanto, a função é estritamente crescente. Desse modo, a função assume todos os valores que estejam entre seus limites laterais, o que conclui que a função é sobrejetiva no intervalo dado.   $\blacksquare$

 

Já que a função é bijetiva, ela possui uma inversa. Vamos tentar encontrá-la. Faremos isso “trocando” $y$ e $x$ de posição em $y=\cosh(x)$:

$x=\cosh(y)\\\\x=\dfrac{e^{y}+e^{-y}}{2}\\\\e^{y}+e^{-y}=2x\\\\e^{2y}+1=2xe^{y}\\\\ (e^{y})^2-2xe^{y}+1=0$

Considere uma nova variável $t=e^y$ a fim de facilitar a visualização do que está ocorrendo:

$t^2-2xt+1=0\\\\ \Delta=b^2-4ac=(-2x)^2-4\cdot1\cdot1=4x^2-4\\ \Delta=4(x^2-1)\\\\ t=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-2x)\pm\sqrt{4(x^2-1)}}{2\cdot1}=\dfrac{2x\pm2\sqrt{x^2-1}}{2}=x\pm\sqrt{x^2-1}\\\\ e^y= x\pm\sqrt{x^2-1} \\\\ y=\ln(x\pm\sqrt{x^2-1})$

Então, temos que $\cosh^{-1}(x)=\ln(x\pm\sqrt{x^2-1})$. Note que a função é crescente para o sinal positivo e decrescente para o sinal negativo (basta analisarmos o sinal da derivada). Para descobrimos sinal correto, portanto, analisaremos o crescimento da função inversa. Seja $f(x)=\cosh(x)$. Considere também que $y_1=f(x_1)$ e $y_2=f(x_2)$, com $x_2>x_1$. Como $f(x)$ é estritamente crescente, temos que $y_2>y_1$. Então:

$y_1=f(x_1)\Longrightarrow f^{-1}(y_1)=x_1\\\\ y_2=f(x_2)\Longrightarrow f^{-1}(y_2)=x_2$

Então, temos $f^{-1}(y_2)> f^{-1}(y_1)$ para $y_2>y_1$, isto é, a função inversa cresce conforme cresce a coordenada na qual ela é aplicada, o que mostra que a inversa de $\cosh(x)$ também é estritamente crescente. Logo, a única opção para  a inversa é:

$\boxed{\cosh^{-1}(x)= \ln(x+\sqrt{x^2-1})}$