Mostre que, para todo a real
(arctg x − arctg a)/(x − a) = 1/(a² + 1)
Favor não usar as regras de L'Hospital, nem conceito pronto de derivada.
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2
Queremos calcular o seguinte limite:
Para isso, vamos fazer a substituição a seguir:
De forma conveniente, vamos fazer uma troca similar para a constante
Note que, quando , temos . Então:
Das relações trigonométricas, sabemos que:
Usando a identidade acima no limite:
Podemos utilizar acima o limite fundamental: , com . Assim:
Além disso, sabemos que:
Em termos da constante dada no enunciado:
Tal expressão pode ser escrita como:
Logo:
Para isso, vamos fazer a substituição a seguir:
De forma conveniente, vamos fazer uma troca similar para a constante
Note que, quando , temos . Então:
Das relações trigonométricas, sabemos que:
Usando a identidade acima no limite:
Podemos utilizar acima o limite fundamental: , com . Assim:
Além disso, sabemos que:
Em termos da constante dada no enunciado:
Tal expressão pode ser escrita como:
Logo:
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