Question

A praça de uma cidade tem a forma de um triângulo retângulo ABC e está sendo reformada. A região triangular foi dividida em duas partes, conforme a figura abaixo. A região formada pelo triângulo CDE será destinada aos jardins e a região formada pelo quadrilátero ABED será usada para passeios e eventos. Sabendo-se que as dimensões são AB = 2km, AC = e AD = 4DE, a razão entre a área destinada aos passeios e eventos e a área dos jardins é igual a:

Answer 1

Olá.

 

Por meio de pesquisas encontrei o enunciado completo, do qual adiciono a imagem com breves modificações, para que se torne mais compreensível o desenvolvimento. Desde já afirmo que a resposta correta é 11.

 

Para resolver essa questão, temos de usar conceitos de proporcionalidade.

 

O enunciado quer saber a razão (r) entre o quadrilátero ABED e o triângulo CDE. De forma algébrica, temos:

 

$\mathsf{r=\dfrac{A_{ABDE}}{A_{CDE}}=\dfrac{A_2}{A_1}}$

 

Para encontrar a área do quadrilátero, temos que subtrair da área do triângulo maior o triângulo menor. De forma algébrica, substituindo valores na fórmula da área, teremos a expressão:

 

$\mathsf{r=\left(\dfrac{AC\cdot AB}{2}-\dfrac{CE\cdot DE}{2}\right)\div\dfrac{CE\cdot DE}{2}}$

 

Atualmente, pelo que nos foi dado no enunciado, temos apenas o valor de AB e AC. Agora, vamos encontrar os demais valores para substituir na fórmula acima e encontrar a razão.

 

Como demonstrado na imagem, os triângulos tem todos os seus ângulos iguais, logo, podemos afirmar que são equivalentes.

 

A equivalência será usada mais tarde, pois antes é bom saber o tamanho de BC. BC é a hipotenusa do triângulo maior, logo, podemos aplicar o teorema de Pitágoras. Teremos:

 

$\mathsf{BC^2=AC^2+AB^2}\\\\\mathsf{BC^2=(2\sqrt3)^2+2^2}\\\\\mathsf{BC^2=2^2\sqrt{3^2}+4}\\\\\mathsf{BC^2=4\cdot3+4}\\\\\mathsf{BC=\sqrt{12+4}}\\\\\mathsf{BC=\sqrt{16}}\\\\\boxed{\mathsf{BC=4}}$

 

Usarei proporcionalidade a primeira vez com a base dos triângulos sobre a hipotenusa. Teremos:

 

$\mathsf{\dfrac{DE}{CD}=\dfrac{AB}{BC}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{DE}{CD}=\dfrac{2}{4}}$

 

É possível dividir a altura do triângulo maior em 2, da seguinte maneira:

 

AD + CD = AC

 

Substituindo pelos valores que nos foi dado pelo enunciado (AD por 4DE e AC por 2√3), buscando isolar um valor para DE, teremos:

 

$\mathsf{AD+CD=AC}\\\\ \mathsf{4DE+CD=2\sqrt3}\\\\ \mathsf{4DE=2\sqrt3-CD}\\\\ \mathsf{DE=\dfrac{2\sqrt3-CD}{4}}$

 

Usando esse valor de DE na equivalência acima, entre base e hipotenusa dos triângulos, teremos o valor de CD. Observação: devem ser trocados os valores de AB e BC também. Vamos aos cálculos. 

 

(A primeira parte está em anexo)

$\mathsf{8\sqrt3=12CD}\\\\ \mathsf{\dfrac{8\sqrt3}{12}=CD}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{(8\sqrt3)^{:4}}{(12)^{:4}}=CD}\\\\\\ \boxed{\mathsf{\dfrac{2\sqrt3}{3}=CD}}$

 

Tendo um valor para CD, basta encontrar os valores de CE e DE para finalizar. Podemos usar o valor que isolamos para DE, substituindo o valor de CD para conseguir o DE. Teremos:

 

$\mathsf{DE=\dfrac{2\sqrt3-CD}{4}}\\\\\\ \mathsf{DE=\dfrac{2\sqrt3-\dfrac{2\sqrt3}{3}}{4}}\\\\\\ \mathsf{DE=\left(\dfrac{3}{3}\cdot2\sqrt3-\dfrac{2\sqrt3}{3}\right)\div4}\\\\\\ \mathsf{DE=\left(\dfrac{6\sqrt3}{3}-\dfrac{2\sqrt3}{3}\right)\cdot\dfrac{1}{4}}\\\\\\ \mathsf{DE=\left(\dfrac{6\sqrt3-2\sqrt3}{3}\right)\cdot\dfrac{1}{4}}$

 

$\mathsf{DE=\left(\dfrac{4\sqrt3}{3}\right)\cdot\dfrac{1}{4}}\\\\\\ \mathsf{DE=\dfrac{4\sqrt3}{12}}\\\\\\ \mathsf{DE=\dfrac{(4\sqrt3)^{:4}}{(12)^{:4}}}\\\\\\ \boxed{\mathsf{DE=\dfrac{\sqrt3}{3}}}$ 

Agora, precisamos do valor de CE. Para conseguir o valor de CE, podemos usar proporcionalidade entre as alturas e as bases dos triângulos. Teremos:

$\mathsf{CE\div DE=\dfrac{AC}{AB}}\\\\\\ \mathsf{CE\div\dfrac{\sqrt3}{3}=\dfrac{2\sqrt3}{2}}\\\\\\ \mathsf{CE\div\dfrac{\sqrt3}{3}=\sqrt3}\\\\\\ \mathsf{CE=\sqrt3\cdot\dfrac{\sqrt3}{3}}\\\\\\ \mathsf{CE=\dfrac{\sqrt3\cdot\sqrt3}{3}}\\\\\\ \mathsf{CE=\dfrac{3}{3}}\\\\\\ \boxed{\mathsf{CE=1}}$

Tendo o valor de CE e DE, podemos substituir todos os valores na razão e concluir. Teremos:

$\mathsf{r=\left(\dfrac{AC\cdot AB}{2}-\dfrac{CE\cdot DE}{2}\right)\div\dfrac{CE\cdot DE}{2}}\\\\\\ \mathsf{r=\left(\dfrac{2\sqrt3\cdot2}{2}-\dfrac{1\cdot\dfrac{\sqrt3}{3}}{2}\right)\div\dfrac{1\cdot\dfrac{\sqrt3}{3}}{2}}\\\\\\ \mathsf{r=\left(\dfrac{4\sqrt3\cdot\dfrac{3}{3}}{2}-\dfrac{\dfrac{\sqrt3}{3}}{2}\right)\div\left(\dfrac{\sqrt3}{3}\div2\right)}\\\\\\ \mathsf{r=\left(\dfrac{\dfrac{12\sqrt3}{3}}{2}-\dfrac{\dfrac{\sqrt3}{3}}{2}\right)\div\left(\dfrac{\sqrt3}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\right)}$

 

$\mathsf{r=\left(\dfrac{\dfrac{12\sqrt3}{3}-\dfrac{\sqrt3}{3}}{2}\right)\div\left(\dfrac{\sqrt3}{6}\right)}\\\\\\ \mathsf{r=\left(\dfrac{\dfrac{12\sqrt3-\sqrt3}{3}}{2}\right)\cdot\left(\dfrac{6}{\sqrt3}\right)}\\\\\\ \mathsf{r=\left(\dfrac{\dfrac{11\sqrt3}{3}}{2}\right)\cdot\left(\dfrac{6}{\sqrt3}\right)}\\\\\\ \mathsf{r=\left(\dfrac{11\sqrt3}{3}\div2\right)\cdot\left(\dfrac{6}{\sqrt3}\right)}\\\\\\ \mathsf{r=\left(\dfrac{11\sqrt3}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\right)\cdot\left(\dfrac{6}{\sqrt3}\right)}$

 

$\mathsf{r=\left(\dfrac{11\sqrt3}{6}\right)\cdot\left(\dfrac{6}{\sqrt3}\right)}\\\\\\ \mathsf{r=\left(\dfrac{11\diagup\!\!\!\!\!\sqrt3}{\diagup\!\!\!6}\right)\cdot\left(\dfrac{\diagup\!\!\!6}{\diagup\!\!\!\!\!\sqrt3}\right)}\\\\\\ \boxed{\mathsf{r=11}}$

 

A razão entre as áreas é 11.

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos$.$