Question

Calcule a integral indefinida

$\displaystyle\int\frac{\cos 2x}{\sin 8x-\sin 2x}\,dx$

Answer 1

Para resolver a integral vamos utilizar as seguintes identidades trigonométricas:

     •  $\mathsf{sen\ a-sen\ b=2\cdot sen \left(\dfrac{a-b}{2}\right)\cdot cos \left(\dfrac{a+b}{2}\right)}$

     •  $\mathsf{cos\ (a\pm b)=cos\ a\cdot cos\ b\ \mp sen\ a\cdot sen\ b}$

__________


Vamos usar a primeira identidade para deixar o denominador em um único fator:

     $\mathsf{I=\displaystyle\int\frac{\cos 2x}{\sin 8x-\sin 2x}\,dx}$

     $\mathsf{I=\displaystyle\int\frac{\cos 2x}{2\sin \left(\frac{8x-2x}{2}\right) \cos \left(\frac{8x+2x}{2}\right) }\,dx}$

     $\mathsf{I=\displaystyle\int\frac{\cos 2x}{2\sin 3x~ \cos 5x }\,dx}$


Agora vamos usar a segunda identidade para o numerador

     $\mathsf{I=\displaystyle\int\frac{\cos 2x}{2\sin 3x~ \cos 5x }\,dx}$

     $\mathsf{I=\displaystyle\int\frac{\cos (5x-3x)}{2\sin 3x~ \cos 5x }\,dx}$

     $\mathsf{I=\displaystyle\int\frac{\cos5x~\cos3x+\sin5x~\sin3x}{2~\sin 3x~ \cos 5x }\,dx}$


De acordo com as propriedades de integral podemos retirar a constante multiplicando. Também vamos escrever o integrando em dois fatores

     $\mathsf{I=\dfrac{1}{2}\cdot \displaystyle\int\frac{\cos5x~\cos3x+\sin5x~\sin3x}{\sin 3x~ \cos 5x }\,dx}$

     $\mathsf{I=\dfrac{1}{2}\cdot \displaystyle\int\left(\frac{\underline{\cos5x}\cos3x}{\sin 3x~ \underline{\cos 5x}}+\frac{\sin5x~\underline{\sin3x}}{\underline{\sin 3x}~ \cos 5x }\right)\,dx}$


De acordo com as propriedades, podemos transformar a integral de uma soma na soma de integrais

     $\mathsf{I=\dfrac{1}{2}\cdot \left(\displaystyle\int\frac{\cos3x}{\sin 3x}\cdot dx+\displaystyle\int\frac{\sin5x}{\cos 5x}\cdot dx \right)}$


A primeira integral pode ser calculada fazendo:

     $\mathsf{u=\sin 3x}$

     $\mathsf{du=\cos 3x\cdot 3\cdot dx}$

     $\mathsf{dx=\dfrac{du}{3\cos3x}}$


Fazendo a substituição:

     $\mathsf{\displaystyle\int\frac{\cos3x}{u}\cdot \dfrac{du}{3\cos3x}}$

     $\mathsf{=\dfrac{1}{3}\cdot \displaystyle\int\frac{1}{u}\cdot du}$

     $\mathsf{=\dfrac{1}{3}\cdot ln|u|}$

     $\mathsf{=\dfrac{1}{3}\cdot ln|\sin 3x|}$


A segunda integral pode ser calculada fazendo:

     $\mathsf{v=\cos 5x}$

     $\mathsf{dv=-\sin 5x\cdot 5\cdot dx}$

     $\mathsf{dx=-\dfrac{dv}{5\cos3x}}$


Fazendo a substituição

     $\mathsf{\displaystyle\int\frac{\sin5x}{v}\cdot \left(-\dfrac{dv}{5\sin5x}\right)}$

     $\mathsf{=-\dfrac{1}{5}\cdot \displaystyle\int\frac{1}{v}\cdot du}$

     $\mathsf{=-\dfrac{1}{5}\cdot ln|v|}$

     $\mathsf{=-\dfrac{1}{5}\cdot ln|\cos 5x|}$


Logo:

     $\mathsf{I=\dfrac{1}{2}\cdot \left(\dfrac{1}{3}\cdot ln\ |\sin 3x|-\dfrac{1}{5}\cdot ln\ |\cos 5x|\right)+C}$


Com as propriedades de logaritmos podemos fazer:

     $\mathsf{I=\dfrac{1}{2}\cdot \left(ln\ |\sin 3x|^{\frac{1}{3}}-ln\ |\cos 5x|^{\frac{1}{5}}\right)}$

     $\mathsf{I=\dfrac{1}{2}\cdot ln\ \dfrac{|\sin 3x|^{\frac{1}{3}}}{|\cos 5x|^{\frac{1}{5}}}}$

     $\mathsf{I=ln\left(\dfrac{|\sin 3x|^{\frac{1}{3}}}{|\cos 5x|^{\frac{1}{5}}}\right)^{\frac{1}{2}}}$

     $\mathsf{I=ln\dfrac{|\sin 3x|^{\frac{1}{6}}}{|\cos 5x|^{\frac{1}{10}}}+C}$


Bons estudos! =)