Question

Uma Barra fina e homogênea de massa M = 4,5 kg e comprimento L= 1,0 está apoiada sobre uma cunha e é mantida na horizontal por um fio ideal inclinado, de comprimento L= 0,30 m, que prende uma de suas extremidades ao solo. O ponto de apoio esta situado a uma distancia d = 0,30 m da extremidade da barra e a distancia entre a barra e o solo é h = 0,18 m. Suponha que o atrito entre a barra e a cunha seja suficiente para a barra não deslizar horizontalmente. Determine a magnitude da tensão do fio.
Utilize a g = 10 m/s²

Answer 1

Boa noite!

Para resolver essa questão, precisamos considerar as condições de equilíbrio mecânico da barra:

- A força resultante deve ser nula
- O torque resultante deve ser nulo

De fato, vamos considerar apenas a segunda condição de equilíbrio e escrever a equação para os torques. Existem três forças atuando na barra, que são:

- Força peso, que atua no centro de gravidade da barra (posição central)
- Força exercida pela cunha a 0,3 m da extremidade
- Tensão do fio em uma das extremidades

Como não sabemos (e não queremos saber) a força exercida pela cunha, vamos calcular o torque resultante no ponto de apoio da barra sobre a cunha. Neste caso, o torque da força normal exercida pela cunha é nulo e temos:

$\tau_{res}=\tau_{peso}-\tau_{fio}$

onde

$\tau_{res}$ é o torque resultante
$\tau_{fio}$ é o torque exercido pela tensão no fio
$\tau_{peso}$ é o torque exercido pela força peso

Note que os torque exercidos pelo fio e pelo peso tem sinais diferentes, pois uma das forças faz a barra girar em sentido horário enquanto a outra a faz girar em sentido anti-horário. Como supomos que a barra está em equilíbrio (não se move nem gira) o torque resultante deve ser nulo. Logo, 

$0=\tau_{peso}-\tau_{fio}$

Agora, lembremos da expressão para o módulo torque exercido por uma força:

$\tau=F\cdot{d}\cdot\text{sen}(\theta)$

onde

$F$ é o módulo da força aplicada
$d$ é a distância ao ponto onde queremos calcular o torque
$\theta$ é o ângulo entre a direção da força e a direção da barra, neste caso

A força peso é, obviamente, perpendicular à barra. Portanto, θ = 90º e sen(θ) = 1. Além disso, a força peso tem seu ponto de aplicação no centro da barra, que está a 0,2 m do ponto de apoio. Logo,

$\tau_{peso}=m\cdot{g}\cdot{d}\cdot\text{sen}(90\º)$
$\tau_{peso}=4,5\cdot{10}\cdot{0,2}\cdot{1}$
$\tau_{peso}=9\,\text{N}\cdot\text{m}$

Agora, precisamos de uma expressão para o toque exercido pelo fio. Sabemos que o fio está a uma distância 0,3 m do ponto de apoio. O valor da tensão, desconhecemos. Quanto ao seno do ângulo, podemos determiná-lo usando trigonometria básica. Temos que o comprimento do fio é 0,3 m. Além disso, sabemos que a barra está a 0,18 m do chão. Se pensarmos no fio como um triângulo retângulo, temos que a hipotenusa é 0,3 m e o cateto oposto ao ângulo θ é 0,18 m. Assim, temos que (seno = cateto oposto / hipotenusa):

$\text{sen}(\theta)=\frac{0,18}{0,3}$
$\text{sen}(\theta)=0,6$

Juntando o que discuti acima, o torque do fio pode ser expresso por:

$\tau_{fio}=T\cdot{d}\cdot\text{sen}(\theta)$
$\tau_{fio}=T\cdot{0,5}\cdot{0,6}$
$\tau_{fio}=0,3T$

Voltando agora para a expressão do torque resultante, obtemos:

$0=\tau_{peso}-\tau_{fio}$
$0=9-0,3T$
$0,3T=9$
$T=\frac{9}{0,3}$
$T=30\,\text{N}$

Assim, temos que a magnitude da tensão no fio é de 30 N.

Espero ter ajudado. Qualquer dúvida deixa um comentário!